§1.2 应用举例
第1课时 解三角形的实际应用举例
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝ 30°，则其跨度AB的长为
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
解析 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.
答案 D
2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于
A.50米 B.100米
C.50米 D.100米
解析 因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
所以△ADC为等腰三角形.
所以AC＝DC＝100米，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50米.
答案 A
3.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.
解析 过点A作AH⊥BC于点H，
由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，
则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m.
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.
答案 200(＋1)
4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析 根据已知的图形可得AB＝.
在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，
由正弦定理，得＝，
所以BC≈2××0.60＝60(m).
答案 60
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
解析 如图，由题意，
知AC＝BC，∠ACB＝80°，
所以∠CBA＝50°，α＋∠CBA＝60°.
所以α＝10°，
即A在B的北偏西10°.故选B.
答案 B
2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为
A.(30＋30)m B.(30＋15)m
C.(15＋30)m D.(15＋15)m
解析 由正弦定理可得＝，
PB＝＝.
h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝(30＋30)(m).故选A.
答案 A
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
解析 由题意得∠ACB＝120°，
AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，
所以AB＝a.故选B.
答案 B
4.设在南沙群岛相距10 n mile的A，B两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C非法进入我领海.若在A望C和B成60°的视角，在B望C和A成75°的视角，则船只C距离最近观测站
A.5 n mile B.5 n mile
C.5 n mile D.5 n mile
解析 结合题意作图如图，
由B＞A得BC＜AC，
故船只C距离观测站B近.
因为在△ABC中，
因为＝，
所以BC＝
＝＝5(n mile).故选C.
答案 C
5.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为
A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
解析 在△ABC中，AC＝15 m，
AB＝5 m，BC＝10 m，
由余弦定理得
cos∠ACB＝＝＝－，
∴sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD
＝15×＝(m).
答案 B
6.(能力提升)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
解析 设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，
在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，
即图中的CD＝20(千米)，故t＝＝＝1(小时).
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.一艘海轮从A处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是________海里.
解析 如图所示，A＝30°，B＝105°，C＝45°，AB＝10，由正弦定理可得BC＝＝5.
答案 5
8.在山底测得山顶的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC＝________.
解析 如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝45°－15°＝30°，
所以∠ASB＝180°－15°－30°＝135°.
在△ABS中，由正弦定理得
AB＝＝1 000×＝1 000，
所以BC＝ABsin 45°＝1 000×＝1 000(m).
答案 1 000 m
9.(能力提升)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站10海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过______分钟，海盗船到达商船.
解析 如图，设观测站、商船分别位于A、B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处.
在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝＝＝.
则∠ADC＝60°.
在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，
所以BD＝AD＝20，×60＝(分钟).
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12海里处；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里处；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离.
解析 由题意，画出示意图，如右图所示.
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.
由正弦定理，得AD＝＝24(海里).
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，得CD＝8(海里).
答：A处与D处的距离为24海里，灯塔C与D处的距离为8海里.
11.(12分)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝.
证明 在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，
∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP
＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.
在△ABP中，根据正弦定理，
＝，
即＝，
AP＝，
所以山高h＝APsin α＝.
12.(12分)(能力提升)在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示.某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B、C、D三市的距离.
解析 在△ABC中，
由题意AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，
则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.
在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，∴＝－，
即＝.
解得x＝，∴AB＝ km，AD＝ km，
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
课件27张PPT。§1.2 应用举例第1课时 解三角形的实际应用举例 [学习目标]
1.能够利用正弦定理、余弦定理解任意三角形.
2.能够运用正弦定理、余弦定理解决实际中的测量问题.(重点、难点)
3.培养学习数学、应用数学的意识.上 下 目标方向线 顺 ?知识点一 测量距离问题
【探究1】 如图所示，A、B两点之间不可到达，在点A的一侧，需测出哪些量，可以求出A、B两点的距离？提示 测量者在点A的同侧、在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离、∠BAC的大小、∠ACB的大小三个量. 【探究2】 如图所示，A、B两点都在河的对岸，不可到达，结合图形，需测出哪些量，可以求出A、B两点间的距离？提示 结合图形，需要测出CD的长，∠BCD的大小，∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长.故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小.?知识点二 测量高度问题
如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.【探究1】 通过观察图形，你认为能够测量出哪些量？
提示 能够测量出的分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高h.【探究2】 你能说出求AE长的一个解题思路吗？
提示 求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.?知识点三 测量角度问题
请结合下图，探究下面的问题：【探究】 你能用方向角表述上图中的角吗？
提示 上图中AB的方向角是北偏东75°，BC的方向角是北偏东32°.◆方法技巧
测量距离问题的解题思路
测量距离问题一般分为三种类型：两点间不可达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.解决此类问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中.答案 C◆方法技巧
测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题.这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需要测量物体的高度.[突破练2]
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.◆方法技巧
解决测量角度问题的注意点
(1)明确方位角和方向角的含义.
(2)分析题意，明确已知条件与所求问题，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步.
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.[突破练3]
如图，为了了解某海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________.本课结束
请按ESC键返回第2课时 三角形中的几何计算
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝，则△ABC的面积是
A.8 B.6 C.4 D.2
解析 ∵cos C＝，C∈(0，π)，∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.故选B.
答案 B
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是
A.3 B. C. D.3
解析 由余弦定理得，
cos C＝＝＝，
所以ab＝6，所以S△ABC＝absin C＝.
答案 C
3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝
A. B. C. D.
解析 因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.
答案 C
4.已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则c＝________.
解析 由S＝absin C＝×4×5sin C＝5，得sin C＝，∴cos C＝±，当cos C＝时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝21，得c＝，当cos C＝－时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝61，∴c＝.
答案 或
5.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________.
解析 ∵a－b＝4，∴a＞b，
又∵a＋c＝2b，∴b＋4＋c＝2b，∴b＝4＋c，∴a＞b＞c.
∴最大角为A，∴A＝120°，
∴cos A＝＝－，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，
即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，
∴b＝10，∴a＝14，c＝6.故周长为30.
答案 30
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为
A.2＋2 B.＋1 C.2－2 D.－1
解析 ∵B＝，C＝，
∴A＝π－B－C＝π－－＝.
由正弦定理＝，得
＝，即＝，∴c＝2.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2sin＝＋1.
故选B.
答案 B
2.在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
A.或 B.或 C.或 D.
解析 根据正弦定理，
sin C＝＝sin 30°＝.
∵c＞b，∴C＞B＝30°，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝；
当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝.
答案 B
3.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于
A. B. C. D.
解析 设AB＝c，BC边上的高为h，
由余弦定理得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，
即7＝c2＋4－4ccos 60°，即c2－2c－3＝0，
所以c＝3，又h＝csin 60°＝3·＝，故选B.
答案 B
4.△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的边长等于
A.5 B.6 C.7 D.8
解析 如图，由题意得
则bc＝40，
a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，
∴a＝7.
答案 C
5.在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于
A. B. C.2 D.3
解析 因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，
因为cos A＝，所以sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
答案 A
6.(能力提升)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝
A.10 B.9 C.8 D.5
解析 由23cos2A＋2cos2A－1＝0，即25cos2A＝1，
故cos A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即49＝b2＋36－2×b×6×，
整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝5.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，其面积S△ABC＝3，则BC＝________.
解析 因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝3，所以sin A＝，又因为△ABC是锐角三角形，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos A＝9＋16－2×3×4×＝13.
答案
8.已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________.
解析 S△ABC＝·||·||·sin A，
即＝·||·||·，
所以||·||＝4，
于是·＝||·||·cos A＝4×＝2.
答案 2
9.若在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________.
解析 由面积公式得，bcsin 60°＝，所以c＝4.
由余弦定理得，
a＝ ＝.
因为＝＝＝，
所以＝＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.
证明 由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，
∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.
由正弦定理得，
所以＋＝5，
即a2＋b2＝5c2.
11.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos Acos C＋1＝2sin Asin C.
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积.
解析 (1)由2cos Acos C＋1＝2sin Asin C得
2(cos Acos C－sin Asin C)＝－1，∴cos(A＋C)＝－，∴cos B＝，又0(2)由余弦定理得：cos B＝＝，∴＝，
又a＋c＝，b＝，∴－2ac－3＝ac，ac＝.
∴S△ABC＝acsin B＝××＝.
12.(12分)(能力提升)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝.
(1)求sin的值；
(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积.
解析 (1)由cos C＝，得sin C＝，
则sin＝sin Ccos＋cos Csin
＝×＋×＝.
(2)因为·＝||||cos C＝1，则ab＝5.
又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.
所以S△ABC＝absin C＝.
课件21张PPT。第2课时 三角形中的几何计算 [学习目标]
1.掌握三角形的面积公式，会用公式计算三角形面积.(重点)
2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.(难点)
3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.(难点、重点)acsin B bcsin A ?知识点 三角形的面积公式
【探究1】 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？
提示 ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，
hc＝asin B＝bsin A.【探究2】 对比以前所学的三角形面积公式，如何用语言叙述它们？
提示 三角形的面积是三角形任意两边与它们夹角的正弦的积的一半.[母题变式]
若把例1条件“sin2B＝2sin Asin C”改为“sin2B＝sin A·sin C”，(2)中的“B＝90°”改为“B＝60°”，其他条件不变，试求△ABC的面积.◆方法技巧
三角形中证明问题的解题思路
有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系.从某种意义上看，这类问题就是有目标地对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形的形状类似：将边化为角或者将角化为边.◆方法规律
三角形中综合问题的处理策略
三角形中的综合问题常涉及正弦定理和余弦定理、三角函数、向量等知识的综合应用.因此，解题时要注意：
(1)合理运用正、余弦定理对边角关系进行转换.
(2)合理应用三角恒等变形.
(3)注意函数、方程思想的应用.本课结束
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