第二章 数列
§2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与通项公式
1.下列说法中正确的是
A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0，2，4，6，…可记为{2n}
解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B错；
数列0，2，4，6，…可记为{2n－2}，故选项D错，故选C.
答案 C
2.已知数列{an}为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的有
(1)an＝[1＋(－1)n＋1]；(2)an＝sin2；
(3)an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；
(4)an＝；(5)an＝
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 对于(3)，将n＝3代入，则a3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{an}的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为an＝＋×(－1)n＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.
答案 D
3.在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于
A.11 B.12 C.13 D.14
解析 观察数列可知，后一项是前两项的和，
故x＝5＋8＝13.
答案 C
4.数列1，2，，，，…中的第26项为________.
解析 ∵a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，∴an＝，
∴a26＝＝＝2.
答案 2
5.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项.
解析 令＝，解得n＝4或n＝－5(舍去)，所以是该数列的第4项.
答案 4
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.下列有四个结论，其中叙述正确的有
①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.
答案 B
2.数列0，，，，，…的一个通项公式是
A.an＝ B.an＝
C.an＝ D.an＝
解析 已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
答案 C
3.已知数列，，，…，，则0.96是该数列的
A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项
解析 由＝0.96，解得n＝24.
答案 C
4.已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于
A. B. C. D.
解析 an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.
答案 B
5.已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是
A. B.5
C.6 D.
解析 a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132
＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
答案 B
6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为
A.3n－1 B.3n C.3n＋1 D.3(n＋1)
解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根).
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项.
解析 令＝0.08，解得n＝10，即为第10项.
答案 10
8.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.
因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
＝＝.
答案 3－4n
9.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
解析 因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以an＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，( )，，，…；
(2)，( )，，，，…；
(3)2，1，( )，，…；
(4)，，( )，，….
解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号
1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
( )
于是括号内填，而分子恰为10减序号，
故括号内填，通项公式为an＝.
(2)＝，
＝，
＝，
＝.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填，
通项公式为an＝.
(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.
(4)先将原数列变形为1，2，( )，4，…，所以括号内应填3，数列的通项公式为an＝n＋.
11.(12分)在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 017；
(3)2 018是否为数列{an}中的项？
解析 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2.
(2)a2 017＝4×2 017－2＝8 066.
(3)令2 018＝4n－2，解得n＝505∈N*，
∴2 018是数列{an}的第505项.
12.(12分)(能力提升)数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内；
(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？
解析 (1)a7＝＝.
(2)证明 ∵an＝＝1－，∴0
(3)因为<<，所以课件31张PPT。第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 [学习目标]
1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反映自然规律的基本数学模型.
2.了解数列是一种特殊的函数，了解数列与函数的关系.(难点)
3.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式. (重点)1.数列的概念
(1)定义：按照一定________排列的一列数称为数列.
(2)项：数列中的_________叫做这个数列的项.a1称为数列{an}的第1项(或称为______)，a2称为第2项，…，an称为第n项.
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______.顺序每一个数首项{an}[点拨] (1)数列中的数是按一定顺序排列的.因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列.例如，数列4，5，6，7，8，9，10与数列10，9，8，7，6，5，4是不同的数列.
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.例如：1， －1，1，－1，1，…；2，2，2，….2.数列的分类有限无限2大于2小于各项相等2大于小于3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与___________之间的关系可以用__________来表示，那么这个_______叫做这个数列的通项公式.
[拓展] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式.
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.序号n一个式子公式?知识点一 数列的概念
【探究1】 同一个数在数列中能重复出现吗？
提示 能.数列中的数可以重复出现.【探究2】 数列的项与项数有什么不同？
提示 项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.提示 如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.?知识点二 数列的通项公式
【探究1】 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【探究2】 观察下面几组数列：(1)3，5，9，17，33，…；(2)8，88，888，8888，…；(3)0，1，2，0，4，5，3，…；(4)1，0，1，0，1，0，….
据此思考：是不是所有的数列都有通项公式？某个数列的通项公式是唯一的吗？类型一 数列的有关概念
[例1] (1)下列说法正确的是
A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B.数列1，0，－1，－2与数列－2，0，－1，1是同一数列
C.数列－1，3，6，－5的第二项为3
D.数列可以看成是一个定义域为正整数集N*的函数[自主解答] (1)由数列的定义可知A、B不正确；D也不正确，因为数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，故选C.
(2)选项A和B中的数列是递减数列；选项D中的数列是有穷数列，只有选项C中的数列既是递增数列，又是无穷数列，故选C.
[答案] (1)C (2)C◆方法规律
1.有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
2.数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an＜an＋1，则是递增数列；若满足an＞an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列.[突破练1]
给出以下数列：
①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；
③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.
其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________.(填序号)
解析 有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.
答案 ②④ ①③ ② ④ ① ③◆方法技巧
由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系.
(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控.
(3)熟悉一些常见数列的通项公式.
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.◆方法技巧
求项或判断某数是否为数列的项的方法
(1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项.
(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.[突破练3]
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？本课结束
请按ESC键返回第2课时 数列的性质和递推公式
1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析 an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列.
答案 A
2.数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a6＝
A.3 B.5 C.8 D.13
解析 由条件知a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8.
答案 C
3.已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是
A.an＝2n B.an＝
C.an＝ D.an＝
解析 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
观察得an＝.
答案 C
4.若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝________.
解析 由an＋1＝2an－1，得an＝(an＋1＋1)，
∴a7＝(a8＋1)＝，a6＝(a7＋1)＝.
答案
5.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝________.
解析 a1＝2，由an＋1＝，得
a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
∴数列{an}的周期为4，
∴a2 018＝a4×504＋2＝a2＝－3.
答案 －3
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是
A.1 B. C. D.
解析 由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，
依此类推a4＝.
答案 B
2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是
A.R B.(0，＋∞)
C.(－∞，0) D.(－∞，0]
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.
答案 C
3.数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
解析 an＝3n2－28n＝3－，
故当n＝5时，an的最小值为a5＝－65.
答案 B
4.数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于
A. B. C. D.
解析 由a1·a2·a3·…·an＝n2，(n≥2)得
a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，(n≥3)，
∴an＝，(n≥3)，∴a3＝，a5＝，
∴a3＋a5＝.
答案 C
5.已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于
A.－165 B.－33 C.－30 D.－21
解析 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
答案 C
6.(能力提升)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝
A.2＋lg n B.2＋(n－1)lg n
C.2＋nlg n D.1＋n＋lg n
解析 由an＋1＝an＋lg?an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg 2＋lg＋lg＋…＋lg＝2＋lg＝2＋lg n.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第7项的值为________.
解析 由数列{an}的首项和递推公式可以求出a2＝，a3＝，…，观察得到通项公式an＝，所以a7＝.
答案
8.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列{an}满足a1＝1，且对任意n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 017的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
1
2
4
解析 由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1.∴a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依次类推，可得{an}是周期为3的周期数列，∴a2 017＝a672×3＋1＝a1＝1.
答案 1
9.(能力提升)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0，则an＝________.
解析 (n＋1)a－na＋an＋1·an＝[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝.
所以an＝··…··a1＝···…··1＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
解析 (1)因为an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为
a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)因为bn＝，
且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
所以b1＝＝，b2＝＝，
b3＝＝，b4＝＝.
11.(12分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象.
解析 (1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
(3)图象如图所示：
12.(12分)已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*).
(1)求证：an＞－2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解析 (1)证明 因为f(x)＝＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.因为n∈N*，所以an＞－2.
(2)数列{an}为递减数列.因为an＝－2＋，
所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，
即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列.
课件22张PPT。第2课时 数列的性质和递推公式 [学习目标]
1.了解数列递推公式的概念；知道递推公式是给出数列的一种方法.
2.能根据数列的递推公式写出数列.(重点)
3.能根据数列的通项公式研究数列的性质.(难点)1.数列的单调性
在数列{an}中，若an＋1————an，则{an}是递增数列；若an＋1————an，则{an}是递减数列；若an＋1————an，则{an}是常数列.>＝<2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的_______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的__________与它的前一项_______(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_________公式.第1项任意一项anan－1递推[点拨] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.?知识点一 数列的函数性质
【探究1】 若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f(n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？【探究2】 若数列中的项循环出现即an＋k＝an(n∈N*，k∈N*，k≥2)称数列{an}为周期数列.若对于任意正整数n，都有an＋3＝an，则数列的最小正周期为________.
提示 3?知识点二 递推公式
【探究1】 若数列{an}满足a1＝a，an＝ban－1＋c，(n∈N*，n≥2)，如何求数列中的每一项？
提示 根据数列的递推公式，只需将初始值a1＝a代入递推公式，就可依次求出数列中的其他项.【探究2】 数列递推公式与通项公式的区别与联系？◆方法技巧
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.◆方法技巧
数列单调性、最值的求解策略
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件.
(2)判断数列的单调性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法和作商法.作商法适合于数列的各项都是同号的数列，作差还是作商视具体情况而定.答案 (2，3)本课结束
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