§2.2 等差数列
第1课时 等差数列的定义及通项公式
1.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则此数列是
A.公差为3的等差数列 B.公差为－5的等差数列
C.首项为3的等差数列 D.首项为－5的等差数列
解析 因为当n≥2时，an－an－1＝3n－5－[3(n－1)－5]＝3，所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.
答案 A
2.已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为
A. B. C. D.
解析 设a，b的等差中项为x，则有2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，
所以x＝，故选A.
答案 A
3.在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝8，则a9等于
A.16 B.18 C.20 D.22
解析 设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝2，a5＝8，所以解得
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.故选C.
答案 C
4.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是
A.2 B.3 C.6 D.9
解析 依题意可得m＋2n＝8，2m＋n＝10，故3m＋3n＝18?m＋n＝6，故m和n的等差中项是3.
答案 B
5.等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，则公差d＝________.
解析 等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝11，可得d＝＝＝4.
答案 4
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于
A.－2 B.－ C. D.2
解析 由题意，得解得
答案 B
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝
A.5 B.8 C.10 D.14
解析 由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是
A.48 B.49 C.50 D.51
解析 ∵a2＋a5＝＋5d＝4，∴d＝，an＝＋(n－1)＝33，解得n＝50.
答案 C
4.数列{an}中，a3＝2，a5＝1，如果数列是等差数列，则a11＝
A.0 B. C.－ D.－
解析 设数列的公差为d，则2d＝－＝－＝，
所以d＝，则＝＋8d＝＋＝1，所以a11＝0.
答案 A
5.已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于
A. B. C. D.
解析 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.
答案 D
6.(能力提升)若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为
A.p＋q B.0
C.－(p＋q) D.
解析 ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
解析 因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案 3n
8.已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d＝________.
解析 根据题意得：a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，①
又a3＝a1＋2d＝－2，②
由①②联立得，d＝－.
答案 －
9.(能力提升)已知在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析 依题意得a2＋a6＝10，a3＋a7＝14，
设首项为a1，公差为d，
则解得a1＝－1，d＝2，
故an＝2n－3.
答案 2n－3
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由.
解析 数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝(常数).
所以是以＝为首项，公差为的等差数列.
11.(12分)已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1)135，4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由.
解析 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，
则n＝m＋5∈N*，
所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.
(2)因为ap，aq是{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.
所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
2p＋3q－1∈N*，
所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
12.(12分)(能力提升)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由.
解析 (1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
(2)∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解.
∴λ值不存在.∴不存在λ的值使{an}成等差数列.
课件22张PPT。§2.2 等差数列 第1课时 等差数列的定义及通项公式 [学习目标]
1.通过实例，理解等差数列和等差中项的概念，深化认识并能运用.(难点)
2.会推导等差数列的通项公式，会运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.(重点)1.等差数列的定义
如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差等于_______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示.2前一项同一个公差d2.等差数列的通项公式an＋1－ana1＋(n－1)d3.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列中，_____叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式a＋b＝_______.A2A?知识点一 等差数列的定义与通项公式
【探究1】 如果说“一个数列从第2项起，相邻两项的差是同一个常数”，那么这个数列是等差数列吗？
提示 这个数列不一定是等差数列，等差数列中的“差”是有顺序的，必须是“从第2项起，每一项与前一项的差”，而“相邻两项的差”，这里的“相邻”可能是后一项减去前一项，也可能是前一项减去后一项，如数列2，1，2，3，4，5相邻两项的差是同一个常数1，但此数列不是等差数列.【探究2】 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
提示 设等差数列的首项为a1，
则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.?知识点二 等差中项
【探究1】 对于给定的等差数列{an}，从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗？【探究2】 探究1的结论可给我们什么样的启示？
提示 可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列，即证明：2an＋1＝an＋an＋2.[答案] (1)D (2)见自主解答◆方法规律
等差数列通项公式的应用
(1)等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量.
(2)若所求问题中的条件与结论的联系不明显，则可把所给条件都化为有关a1和d的方程组，解方程组可求a1和d.[突破练1]
已知等差数列{an}中，a2＝11，a5＝23，an＝43，则n＝________.答案 10类型二 等差中项的简单应用
[例2] (1)若3，x，y，z，12成等差数列，则x＋y＋z＝________.
(2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数.[母题变式]
若将例2中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个数列.◆方法技巧
三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，
方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解.
方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.◆方法技巧
等差数列判定的常用的两种方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}为等差数列.
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}为等差数列.本课结束
请按ESC键返回第2课时 等差数列的性质
1.等差数列{an}的公差为d，则数列{can}(c为常数且c≠0)
A.是公差为d的等差数列
B.是公差为cd的等差数列
C.不是等差数列
D.以上都不对
解析 an＝a1＋(n－1)d，
则can＝ca1＋(n－1)cd，
所以can＋1－can＝cd.
答案 B
2.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为
A.49 B.50 C.51 D.52
解析 由条件可得an＋1－an＝，故{an}是等差数列，从而a101＝a1＋(101－1)×＝2＋50＝52.
答案 D
3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于
A.15 B.30 C.31 D.64
解析 因为a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.
在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，
所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.
答案 A
4.在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
解析 因为a1＋a15＝a4＋a12＝2a8，
而a1＋a15－(a4＋a8＋a12)＝2，
即2a8－3a8＝2，所以a8＝－2，
所以a3＋a13＝2a8＝－4.
答案 －4
5.{an}为等差数列，若a3＋a11＝10，则a6＋a7＋a8＝________.
解析 因为a3＋a11＝a6＋a8＝2a7＝10，
所以a6＋a7＋a8＝(a3＋a11)＝15.
答案 15
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为
A.5 B.6 C.8 D.10
解析 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.
答案 A
2.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于
A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
所以c37＝100.
答案 C
3.下列说法中正确的是
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析 因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.
答案 C
4.若等差数列{an}的公差为整数，首项为19，从第6项开始为负值，则公差为
A.－5 B.－4 C.－3 D.－2
解析 设等差数列{an}的公差为d(d∈Z)，依题意得a6＝a1＋5d＝19＋5d＜0，即d＜－；a5＝a1＋4d＝19＋4d≥0，即d≥－，所以－≤d＜－.又d∈Z，所以d＝－4.
答案 B
5.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为
A.14 B.15 C.16 D.17
解析 ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24，a9－a11＝a1＋8d－a1－d＝a1＋d＝(a1＋7d)＝a8＝×24＝16.
答案 C
6.(能力提升)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为
A. B. C. D.
解析 设最小的一份为a1，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝100，
则a3＝20，又(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，即×3a4＝a1＋a2，∴(a3＋d)＝a3－2d＋a3－d，
即(20＋d)＝40－3d，解得d＝，∴a1＝a3－2d＝20－＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.如果等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，那么a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝________.
解析 ∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝15，∴a5＝5，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝9a5＝9×5＝45.
答案 45
8.等差数列{an}中，a2 000＝－15，a2 015＝15，则a2 060＝______.
解析 ∵a2 015－a2 000＝15d，∴15d＝30，即d＝2.
a2 060＝a2 000＋60d＝－15＋60×2＝105.
答案 105
9.(能力提升)已知实数a>0且a≠1，函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是等差数列，则a＝________，b＝________.
解析 a1＝a，a2＝a2，a3＝3a＋b，a4＝4a＋b，所以等差数列{an}的公差为a4－a3＝a，则a2－a1＝a2－a＝a，解得a＝2，则a1＝2，a2＝4，a3＝6＋b＝6，所以b＝0.
答案 2 0
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列.
(1)求新数列的通项公式；
(2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
解析 (1)原数列的公差d＝－3－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，
故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－.
(2)设28是新数列的第n项，则－＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项.
11.(12分)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件.
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
解析 设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，利润分别为b1，b2，…，b10，
则{an}，{bn}均为等差数列，
且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，
所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，
所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.
显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
答：在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
12.(12分)(能力提升)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈Z*).
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.
解析 (1)证明 因为an＝2－(n≥2，n∈Z*)，
所以an－1＝，
所以＝＝1＋，
即－＝1.
因为bn＝，所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈Z*).
又a1＝，b1＝＝－，
所以{bn}是以b1＝－为首项，1为公差的等差数列.故bn＝－＋(n－1)×1＝n－，n∈N*.
(2)由(1)得an＝＋1＝1＋，
当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an＞1.
又a1＝，a2＝－2，a3＝，
所以在数列{an}中，最大项为a3＝，最小项为a2＝－2.
课件25张PPT。第2课时 等差数列的性质 [学习目标]
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.(重点)
3.体会等差数列与一次函数的关系.(难点)
4.能运用等差数列的知识解决简单的实际问题.(难点、重点)等差数列的常见性质
1.对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝am＋__________(n＞m)；
2.an＝a1＋(n－1)d＝a2＋(n－2)d＝…＝am＋_______；
3.若m，n，p，q均为正整数，则m＋n＝p＋q＝2k?____________________；
4.若m，p，n均为正整数且m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成_______数列；an－m＋1(n－m)dam＋an＝ap＋aq＝2ak等差5.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有dcd2dpd＋qd′ 6.单调性：{an}的公差为d，则d___0?{an}为递增数列；d____0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列.＞＜?知识点一 等差数列的性质
【探究1】 在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，那么m＋n＝p＋q是否成立？
提示 不一定.当数列为常数列时不成立，当数列为非常数等差数列时结论成立.【探究2】 在等差数列{an}中，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，那么am＋an＝2ap是否成立？如何证明？
提示 成立.因为当m＋n＝2p时，am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2p－2)d＝2[a1＋(p－1)d]＝2ap.?知识点二 等差数列与一次函数的关系
【探究1】 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，那么这个等差数列的图象与一次函数y＝dx＋(a1－d)(其中d≠0)图象之间有什么关系？
提示 等差数列an＝dn＋(a1－d)的图象就是一次函数y＝dx＋(a1－d)图象的一个子集，是直线y＝dx＋(a1－d)上的均匀分布的一群孤立的点.◆方法技巧
等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.[突破练1]
(1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于
A.14 B.21 C.28 D.35
(2)已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为
A.－6 B.6 C.0 D.10解析 (1)因为a3＋a4＋a5＝12，
所以3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.
(2)由于{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an－bn}也是等差数列，
而a1－b1＝6，a20－b20＝6，
所以{an－bn}是常数列，
故a10－b10＝6.故选B.
答案 (1)C (2)B类型二 等差数列的实际应用
[例2] (链接教材P38例2)某公司2016年经销一种数码产品，获利200万元，从2017年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不研发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？[自主解答] 记2016年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损.
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，
即an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，也就是从2027年开始，该公司经销此产品将出现亏损.◆方法规律
解与等差数列有关的实际问题的策略
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.答案 B类型三 等差数列的综合问题(难点突破)
[例3] 已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式.[自主解答] (1)设等差数列的公差为d.
因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4，
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，
所以d＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
故an＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列.
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
故bn＝4n.◆方法技巧
解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.[突破练3]
设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则
A.d＜0 B.d＞0
C.a1d＜0 D.a1d＞0答案 C本课结束
请按ESC键返回
