§2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 S5＝＝＝＝15.
答案 B
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于
A.8 B.10 C.12 D.14
解析 由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.
答案 C
3.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
解析 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
答案
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________.
解析 S12＝＝21，即6(a1＋a12)＝21，
则a2＋a5＋a8＋a11＝2(a1＋a12)＝7.
答案 7
5.(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得
所以S6＝6a1＋d＝36＋15×(－2)＝6.
答案 6
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝
A.13 B.35 C.49 D.63
解析 4d＝a6－a2＝8，所以d＝2，
则S7＝7a4＝7(a2＋4)＝49.
答案 C
2.若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12 B.13 C.14 D.15
解析 由题意解之，得
∴a7＝1＋2×6＝13.
答案 B
3.在等差数列{an}中，若a6＋a9＋a12＋a15＝20，则S20等于
A.90 B.100 C.110 D.120
解析 ∵a6＋a15＝a9＋a12＝a1＋a20，a6＋a9＋a12＋a15＝20，∴a1＋a20＝10，故S20＝×20(a1＋a20)＝100.
答案 B
4.等差数列{an}的前n项和Sn，若a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13等于
A.152 B.154 C.156 D.158
解析 因为a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，两式相加可得a3＋a7－a10＋a11－a4＝(a3＋a11)－(a4＋a10)＋a7＝a7＝12，所以S13＝13a7＝13×12＝156.
答案 C
5.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
A. B. C. D.
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
答案 B
6.(能力提升)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于
A.38 B.20 C.10 D.9
解析 因为{an}是等差数列，
所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，即＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.
解析 因为a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
答案 27
8.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝3，S12－S6＝9，则S18＝________.
解析 由等差数列{an}的性质可得：
S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，
所以2×9＝3＋S18－S12，S12＝9＋3＝12，
所以S18＝27.
答案 27
9.(能力提升)(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________.
解析 解法一 设等差数列{an}的公差为d，
由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，
即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，
代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，
所以d＝3，a1＝－4.
故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
解法二 设等差数列{an}的公差为d，
由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，
代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，
所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，
故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.
答案 20
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.
解析 设{an}的公差为d，由已知，
得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a.
又2a2＝a1＋a3，∴8＝a－1＋2a，即a＝3，
∴a1＝2，d＝a2－a1＝2.
(1)由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，得
Sn＝2n＋×2＝n2＋n，∴bn＝＝n＋1.
又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n.
11.(12分)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解析 (1)设n分钟后第1次相遇，
依题意，有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
12.(12分)(能力提升)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根.
又公差d＞0，∴a3＜a4，
∴a3＝9，a4＝13.
∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，
∴c＝－(c＝0舍去).
经检验，c＝－符合题意，
∴c＝－.
课件26张PPT。§2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 [学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.(难点)
2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题.(难点)
3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.(重点)1.等差数列前n项和
(1)定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和.
(2)表示：常用符号____表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.Sn2.等差数列的前n项和公式k2d 等差 nd an ?知识点一 等差数列的前n项和
【探究1】 等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉及几个量？如何求这些量？
提示 在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，所以只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.?知识点二 等差数列前n项和的性质
【探究】 设{an}是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？
提示 由Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋am＋md＝Sm＋m2d.
同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－Sm＋m2d.
所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，并且公差为m2d.[答案] (1)16 (2)24◆方法技巧
两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用
(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解.
(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.命题点2 等差数列模型的实际应用
[例2] (链接教材P43例1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布
A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺[答案] B◆方法规律
建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.[突破练1]
(2017·新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为
A.1 B.2 C.4 D.8答案 C[母题变式1]
例3(2)若条件不变，则S120的值为________.答案 －252[母题变式2]
例3(2)中的条件“S10＝100，S100＝10”若换为“Sm＝70，S2m＝110”，其他条件不变，则S3m的值为________.
解析 因为{an}为等差数列，
所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
所以2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
即2×(110－70)＝70＋S3m－110，
所以S3m＝120.
答案 120◆方法技巧
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.答案 (1)A (2)75本课结束
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1.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为
A.15 B.16 C.49 D.64
解析 ∵Sn＝n2，∴a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案 A
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于
A.4 B.2 C.1 D.－2
解析 在Sn＝2(an－1)中，令n＝1得S1＝2(a1－1)，
即a1＝2(a1－1)，故a1＝2.
所以S2＝2(a2－1)，即2＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.
答案 A
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－11，a5＋a6＝－4，Sn取得最小值时n的值为
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 a5＋a6＝2a1＋9d＝－22＋9d＝－4，解得d＝2，故an＝2n－13，
由得答案 A
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________.
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，
∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案
5.等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时n的值为________.
解析 由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0，从而S5＝S6均为最小值.
答案 5或6
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋1，则a5等于
A.7 B.9 C.11 D.12
解析 数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋1，
则a5＝S5－S4＝25＋1－16－1＝9.故选B.
答案 B
2.在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，则k等于
A.45 B.46 C.47 D.48
解析 因为ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，
所以a1＋(k－1)d＝10a1＋45d.
因为a1＝0，公差d≠0，
所以(k－1)d＝45d.
所以k＝46.故选B.
答案 B
3.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是
A.21 B.20 C.19 D.18
解析 设{an}的公差为d，由题意得
a1＋a3＋a5＝a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝105，
即a1＋2d＝35，①
a2＋a4＋a6＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝99，
即a1＋3d＝33，②
由①②联立得a1＝39，d＝－2，
所以Sn＝39n＋×(－2)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，
故当n＝20时，Sn达到最大值400.故选B.
答案 B
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于
A.1 B.－1 C.2 D.
解析 ＝＝＝＝×＝1.
答案 A
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由等差数列前n项和的性质可得＋＝2·，∴＋＝，
解之，得m＝5.
答案 C
6.(能力提升)数列{an}是等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于
A.11 B.17 C.19 D.21
解析 由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，
因为＜－1，所以a10＞0＞a11，且a10＋a11＜0，
所以S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＜0，
则S19＝19a10＞0，
所以S19为最小正值，故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n－1.
当n＝1时不满足上式，故an＝
答案 an＝
8.已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________.
解析 an＝2n－30，令an＜0，得n＜15，
即在数列{an}中，前14项均为负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)
＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.
答案 190
9.(能力提升)若等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1＞0，Sn为其前n项和，则Sn最大时n＝________.
解析 ∵3a8＝5a13，∴3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，
∴d＝－，
故an＝a1＋(n－1)d＝a1－(n－1)＝(41－2n).
由a1＞0可得当n≤20时，an＞0，
当n＞20时，an＜0，∴Sn最大时n＝20.
答案 20
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)设等差数列{an}的公差为整数，且a4＝a－28，a5＝10，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a3n＋1，若数列{bn}的前n项和Sn＝350，求n.
解析 (1)设数列{an}的公差为d，
则，
解得a1＝2，d＝2或a1＝－21，d＝(舍)，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由bn＝a3n＋1知，bn＝2(3n＋1)＝6n＋2，bn＋1＝6(n＋1)＋2＝6n＋8，
所以bn＋1－bn＝(6n＋8)－(6n＋2)＝6，为常数，故数列{bn}为等差数列，且公差d＝6，首项b1＝8，
所以Sn＝8n＋×6＝3n2＋5n.
令3n2＋5n＝350，即3n2＋5n－350＝0，
解得n＝10或n＝－(舍)，故n＝10.
11.(12分)已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析 由S2＝16，S4＝24，
得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*).
①当n≤5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n；
②当n≥6时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S5－Sn＝2(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
12.(12分)(能力提升)Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由a＋2an＝4Sn＋3，
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，
则a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an).
由于an＞0，所以an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝3或a1＝－1(舍去).
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知，
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.
课件24张PPT。第2课时 等差数列习题课 [学习目标]
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.会解等差数列前n项和的最值问题.(重点)
3.理解an与Sn的关系，会利用这种关系解决有关问题.(难点)1.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.a1＋(n－1)d2.等差数列的前n项和公式(n－m)d(n，m∈N*) am＋an 2am(k，l，m∈N*) 等差 等差 ?知识点一 前n项和Sn与通项an的关系
【探究1】 设Sn＝a1＋a2＋…＋an，若已知Sn，如何求an?◆方法技巧
已知an与Sn的关系，求an的步骤：
(1)当n≥2时，用an＝Sn－Sn－1计算得到an；
(2)当n＝1时，用a1＝S1计算得到a1的值；
(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an，若满足，则通项公式就是an；若不满足，则用分段的形式表示.[突破练1]
已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断{an}是否为等差数列？类型二 等差数列前n项和的最值(重点突破)
[例2] (链接教材P45例4)(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
(2)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求{an}的前n项和Sn的最大值.[自主解答] (1)∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10
＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大.
(2)∵S17＝S9，∴S17－S9＝4(a13＋a14)＝0，
即a13＋a14＝0，又∵a1＝25，设公差为d，
∴a13＋a14＝50＋25d＝0，解得d＝－2，
故a13＝25＋(13－1)×(－2)＝1>0，
a14＝25＋(14－1)×(－2)＝－1<0，
所以S13最大，且S13＝169.
[答案] (1)8 (2)169[母题变式]
把例2(2)中条件变为“a1＜0，S9＝S12”，则Sn取最小值时，n的值为________.答案 10或11[突破练2]
(2018·全国卷Ⅱ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．解析 (1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
答案 (1)an＝2n－9 (2)－16本课结束
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