§2.4 等比数列
第1课时 等比数列的定义与通项公式
1.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为
A.16 B.27 C.36 D.81
解析 由a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，
所以q2＝9，又an＞0，所以q＝3.
a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.
答案 B
2.在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝
A.－4 B.±4 C.－2 D.±2
解析 因为数列{an}为等比数列，所以a＝a1·a7，所以a7＝＝＝－4.
答案 A
3.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是
A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列
解析 从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列.由于3，6，9成等差数列，所以a3，a6，a9成等比数列.事实上，设等比数列的公比为q，则＝＝q3.
答案 D
4.在等比数列{an}中，若a3＝3，a7＝12，则a5＝________.
解析 a＝a3a7＝36，又a5＝a3q2＞0，
∴a5＝6.
答案 6
5.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
解析 由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案 3×2n－3
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝9，则a3＝
A.1 B.3 C.±1 D.±3
解析 因a3是a1和a5的等比中项，故a＝a1·a5＝1，又a3＝a1q2＝q2>0，所以a3＝1.
答案 A
2.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64 B.81 C.128 D.243
解析 由题意
解之，得∴a7＝1·26＝64.
答案 A
3.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a3和a7的等比中项是
A.8 B.±8 C. D.±
解析 a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝32，故a3和a7的等比中项是±＝±8.
答案 B
4.下列命题中正确的是
A.若a，b，c是等差数列，则lg a，lg b，lg c是等比数列
B.若a，b，c是等比数列，则lg a，lg b，lg c是等差数列
C.若a，b，c是等差数列，则10a，10b，10c是等比数列
D.若a，b，c是等比数列，则10a，10b，10c是等差数列
解析 若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以10a·10c＝10a＋c＝102b＝(10b)2，
所以10a，10b，10c是等比数列.故选C.
答案 C
5.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于
A.607.5 B.608 C.607 D.159
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
答案 C
6.(能力提升)如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，那么a5等于
A.32 B.64 C.－32 D.－64
解析 由已知得＝(－)n－1，
则＝－，
＝(－)2，
＝(－)3，
＝(－)4，
以上四式相乘得a5＝(－)1＋2＋3＋4，
解得a5＝32.故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n，3an＋1－an＝0，则an＝________.
解析 因为3an＋1－an＝0，
所以＝，
因此{an}是以为公比的等比数列，
又a1＝2，所以an＝2×.
答案 2×
8.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
解析 因为an＝a1qn－1＝(－2)n－1，
所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.
答案 15
9.(能力提升)设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为________.
解析 设{an}的公比为q，则＝＝＝＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3的值.
解析 由a5－a1＝15，a4－a2＝6.
设等比数列{an}的公比为q，
则
①÷②得＝，∴＝.
∴＝，即2q2－5q＋2＝0.
∴q＝2或q＝.
当q＝2时，a1＝1，∴a3＝1×22＝4；
当q＝时，a1＝－16，
∴a3＝(－16)×＝－4.
11.(12分)(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式.
解析 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
12.(12分)(能力提升)(1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
解析 (1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，
所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N*均成立.将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)][2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得p＝2或p＝3.
(2)设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q.
因为c＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)，所以c－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p－q)2.
由于p≠q，所以p－q≠0，又a1≠0，b1≠0，
因此c≠c1c3.
故{cn}不是等比数列.
课件25张PPT。§2.4 等比数列 第1课时 等比数列的定义与通项公式 [学习目标]
1.通过实例，理解等比数列和等比中项的概念，深化认识并能运用.(重点)
2.探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题.(重点)
3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.(难点)1.等比数列的定义
如果一个数列从第________项起，每一项与它的___________等于_______常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母________表示.二前一项的比同一个公比q(q≠0)等比数列 a1qn－1 ?知识点一 等比数列的定义及通项公式
【探究1】 利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么？【探究2】 在数列{an}中，若an＋1＝2an.则{an}是等比数列吗？
提示 不一定.当an≠0时，{an}是等比数列.当an＝0时，{an}不是等比数列.【探究3】 等比数列的公比q能否为零？?知识点二 等比中项
【探究1】 对任意两个不为零的数是否一定都有等比中项？若有，是否唯一？
提示 不一定，只有当两个数同号，即两个数之积大于零时，此两数才有等比中项且有两个等比中项，它们互为相反数.【探究2】 若c是a，b的等比中项，则有c2＝ab，反之成立吗？
提示 不一定成立.在c2＝ab中，若c＝0，则a，b中至少有一个为0，此时三个数不成等比数列，则c不是a，b的等比中项；若a，b，c均为非零常数，反之也成立.类型一 等比数列通项公式及应用(重点突破)
[例1] (链接教材P51例3)在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.◆方法规律
等比数列通项公式的应用
已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.[突破练1]
已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＝
A.4 B.8 C.16 D.64答案 C[答案] (1)D (2)略[突破练2]
若a＋1，2a＋2，3a＋5成等比数列，则实数a的值为________.
解析 由题意可得(2a＋2)2＝(a＋1)(3a＋5)，即4(a＋1)2＝(a＋1)(3a＋5)，∵a＋1≠0，∴4(a＋1)＝3a＋5，解得a＝1.
答案 1类型三 等比数列的判定与证明
[例3] (链接教材P51例4)(1)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么
A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
(2)在数列{an}中，若a1＝1，且an＋1＝2an＋3(n∈N*).证明：数列{an＋3}是等比数列.[答案] (1)C (2)略本课结束
请按ESC键返回第2课时 等比数列的性质
1.等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于
A.4 B.8 C.16 D.32
解析 因为{an}是等比数列，所以a2·a6＝a＝16.
答案 C
2.在正项等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60的值为
A.32 B.256 C.±64 D.64
解析 因为a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，所以a1a99＝16，又a40a60＝a1a99＝a，{an}是正项等比数列，所以a50＝4，所以a40a50a60＝a＝64.
答案 D
3.在等比数列{an}中，an＞an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于
A. B. C. D.6
解析 因为
解得或
又因为an＞an＋1，所以a4＝3，a14＝2.
所以＝＝.
答案 A
4.在等比数列{an}中，公比q＝2，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝________.
解析 因为数列{an}为等比数列，所以a3＝a1·q2，a4＝a2·q2，a5＝a3·q2，
所以a3＋a4＋a5＝a1·q2＋a2·q2＋a3·q2＝q2(a1＋a2＋a3)，
又因为q＝2，所以a3＋a4＋a5＝4(a1＋a2＋a3)，
因为前3项和为21，所以a1＋a2＋a3＝21，
所以a3＋a4＋a5＝4×21＝84.
答案 84
5.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________.
解析 设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案 3或27
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是
A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
解析 ＝·＝q·q＝q2(n≥3)，
所以新数列是公比为q2的等比数列.
答案 B
2.已知等比数列{ an}中a7＝－1，a19＝－8，则a13＝
A.－2 B.2 C.16 D.－32
解析 由等比数列的性质得：
＝(q6)2＝8，q6＝2，a13＝a7·q6＝(－1)·2＝－2.
答案 A
3.已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于
A.2 B.4 C.8 D.16
解析 由数列{an}是等比数列，且a3a11＝4a7，得a＝4a7，∴a7＝4或a7＝0(舍).
所以在等差数列{bn}中，有b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
答案 C
4.设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于
A.230 B.210 C.220 D.215
解析 由a1·a2·a3·…·a30＝230得
a·21＋2＋…＋29＝a·2＝230.
∴a·2145＝210.
∴a＝2－135.
∴a3·a6·a9·…·a30＝a·22＋5＋8＋…＋29＝a·2155＝2－135×2155＝220.
答案 C
5.已知数列{an}(n∈N*)是首项为1的等比数列，设bn＝an＋2n，若数列{bn}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝
A.9 B.21 C.42 D.45
解析 设数列{an}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2，
∴b1＝a1＋21＝3，b2＝a2＋22＝q＋4，b3＝a3＋23＝q2＋8.∵数列{bn}也是等比数列，∴(q＋4)2＝3(q2＋8)，解得q＝2.当q＝2时，an＝2n－1，bn＝3·2n－1，符合题意，故q＝2.∴b1＋b2＋b3＝3＋6＋12＝21.
答案 B
6.(能力提升)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是
A.－ B.－5 C.5 D.
解析 由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列.因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7的值等于________.
解析 设{an}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)，所以a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.
答案 42
8.若－1，a，b，c，－9成等比数列，则b＝________，ac＝____________.
解析 因为－1，a，b，c，－9成等比数列，所以b2＝(－1)×(－9)＝9，设公比为q，则b＝－1·q2<0，故b＝－3，又－1，a，b成等比数列，所以a2＝－b＝3，同理c2＝27，所以a2c2＝3×27＝81.又a，c符号相同，所以ac＝9.
答案 －3 9
9.(能力提升)画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.
解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048.
答案 2 048
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式.
解析 设{an}的公差为d.
由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d).
若a2＝0，则d2＝－2d2，
所以d＝0，此时Sn＝0，不符合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0，或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
11.(12分)互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数.
解析 设三个数为，a，aq，∴a3＝－8，
即a＝－2，∴三个数为－，－2，－2q.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，
则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；
(2)若－2q为－与－2的等差中项，
则＋1＝2q，2q2－q－1＝0，q＝－或q＝1(舍去)，∴三个数为4，－2，1；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，
则q＋1＝，∴q2＋q－2＝0，
∴q＝－2或q＝1(舍去)，
∴三个数为1，－2，4.
综合(1)(2)(3)可知，这三个数为－2，1，4.
12.(12分)(能力提升)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2＝3，4S2＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{2an}是等比数列；
(3)求使得Sn＋2＞2Sn成立的n的集合.
解析 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1.
(2)依题意，得＝＝4，
所以数列{2an}是首项为2，公比为4的等比数列.
(3)由a1＝1，d＝2，an＝2n－1，得Sn＝n2，
所以Sn＋2＞2Sn?(n＋2)2＞2n2?(n－2)2＜8.
所以n＝1，2，3，4，
故n的集合为{1，2，3，4}.
课件22张PPT。第2课时 等比数列的性质 [学习目标]
1.掌握等比数列的常用性质，能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.
2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.(重点)
3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.(难点)1.等比数列通项公式的推广am·qn－m2.等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________.
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝______.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….ap·aq3.等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列：
①{can}(c为任一不为零常数)是公比为___的等比数列.
②{|an|}是公比为____的等比数列.
③{a}(m为常数，m∈N*)是公比为____的等比数列.
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为_______的等比数列.q|q|qmq1·q2?知识点 等比数列的性质
【探究1】 在等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则am·an＝ak·al，如何证明该结论？【探究2】 在等比数列{an}中， 若am·an＝ak·al，那么m＋n＝k＋l是否一定成立？
提示 不一定.当数列为非零常数列时不成立；当数列为非常数等比数列时结论成立.【探究3】 利用等比数列的通项公式an＝a1qn－1.讨论等比数列的单调性.[答案] (1)C (2)A◆方法技巧
运用等比数列的性质或基本量解题
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷.为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.[突破练1]
若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.答案 5类型二 灵活设项求解等比数列问题
[例2] 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.[突破练2]
在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为________.类型三 等比数列的实际应用(难点突破)
[例3] (链接教材P50例1)从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%?◆方法规律
等比数列实际应用关注点
构建数列模型后，根据题设建立an＋1与an的关系是解决本题的关键，进而利用等比数列的定义及通项公式解决问题.[突破练3]
某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)本课结束
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