§2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1.等比数列，，，…的前10项和等于
A. B. C. D.
解析 因为数列，，，…是首项为，公比为的等比数列，所以S10＝＝.
答案 C
2.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179 B.211 C.243 D.275
解析 因为q4＝＝＝，各项都是正数，
所以q＝，
因此S5＝＝＝211.
答案 B
3.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝
A. B.－ C. D.－
解析 由题意知公比q≠1，
则S3＝＝a1q＋10a1，
得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝.
答案 C
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析 由S6＝4S3，所以＝4·，
所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，
所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.
答案 3
5.等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
解析 由条件得S6＝3S3，故S6－S3＝2S3，
又S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
且S6－S3＝2S3，
故S9－S6＝4S3，
所以S9＝7S3，所以＝＝.
答案
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于
A.11 B.5 C.－8 D.－11
解析 设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.
所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.
因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.
所以＝＝＝＝＝－11.
故选D.
答案 D
2.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为
A.或5 B.或5 C. D.
解析 由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
答案 C
3.在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝
A.(2n－1)2 B.(4n－1) C.(2n－1) D.4n－1
解析 由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＝1，a2＝2，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1).
答案 B
4.在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项和为，则数列的项数为
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 ∵a1＝14，an＋2＝，∴Sn＋2＝＝，
∴q＝－，∴an＋2＝14＝，
∴n＝3，∴数列共5项.
答案 B
5.已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为
A.0 B.1 C.－1 D.2
解析 由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1.
因为数列{an}是公比为3的等比数列，
所以a1＝2×31－1＝3＋k，
解得k＝－1.
答案 C
6.(能力提升)等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于
A.8 B.12 C.16 D.24
解析 设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.(2017·江苏)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
解析 设等比数列{an}的公比为q，
当q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1＝2S3，不符合题意，
∴q≠1，由题设可得
解得∴a8＝a1q7＝×27＝32.
答案 32
8.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析 设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝2.
答案 2
9.(能力提升)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.
解析 设每天植树的棵数构成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得≥100，即2n≥51.而25＝32，26＝64，n∈N*，所以最少天数n＝6.
答案 6
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若有S3＋S6＝2S9，求公比q的值.
解析 若q＝1，则S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1≠2S9，
∴q≠1.由已知可得：＋＝.
∴q3(2q6－q3－1)＝0.∵q≠0，∴2q6－q3－1＝0，∴(q3－1)(2q3＋1)＝0.
又∵q≠1，∴q3＝－，∴q＝－.
11.(12分)(2017·北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解析 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则a2＋a4＝2a3＝10，即a3＝5.
故a3－a1＝2d＝5－1＝4，即d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*).
(2)由(1)知a5＝9，即b2b4＝9，则bq4＝9，q2＝3.
∵{bn}是公比为q的等比数列，
∴b1，b3，b5，…，b2n－1构成首项为1，公比为q2＝3的等比数列，
∴b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝(n∈N*).
12.(12分)(能力提升)某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元.
解析 (1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝an＝an，
∴＝，∴数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝＝1 600，
即n年内旅游业总收入为1 600万元.
(2)由(1)知Sn＝1 600，令Sn＞8 000，
即1 600＞8 000，
∴＞6，∴lg＞lg 6，∴n＞≈8.029 6.
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元.
课件26张PPT。§2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 [学习目标]
1.掌握等比数列的前n项和公式，了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.(难点)
2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.(重点)
3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.1.等比数列的前n项和公式?知识点一 等比数列的前n项和公式
【探究1】 若等比数列的公比为字母时，求{an}的前n项和时要注意什么？
提示 若等比数列的公比为字母，应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答.【探究3】 等比数列{an}的前n项和Sn＝a＋3n＋1，你能利用探究2结论求实数a的值吗？
提示 能.因为Sn＝a＋3×3n，
∴a＋3＝0，即a＝－3.?知识点二 等比数列前n项和的性质
【探究1】 等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？
提示 Sm＋n＝Sm＋qmSn.
证明如下：
左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)
＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm
＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.【探究2】 在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列.即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列.怎样证明这个关系？
提示 ∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，
在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列.◆方法技巧
等比数列前n项和公式的应用
(1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共有a1，an，q，n和Sn这五个量，已知其中任意三个，都可以求出另外两个.
(2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式.同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想.
(3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q＝1或q≠1两种情况讨论.[突破练1]
(1)若首项为1的等比数列{an}(n∈N*)的前3项和为3，则公比q为________．
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.答案 (1)－2或1 (2)略类型二 等比数列前n项和性质的应用
[例2] (1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝________.
(2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，则前12项的和为________.[自主解答] (1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.
(2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，所以S8＝17.
又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
即162＝S12－17，所以S12＝273.
[答案] (1)63 (2)273[母题变式1]
若例2(2)条件不变，则等比数列{an}的通项公式为________.[母题变式2]
若例2(2)的条件“前4项和为1，且公比q＝2”改为“前4项和为S4，公比为q”，探究S4与S12的关系.
解析 由S12＝S4＋a5＋a6＋a7＋…＋a12＝S4＋q4(a1＋a2＋…＋a8)
＝S4＋q4(S4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝S4＋q4[S4＋q4(a1＋a2＋a3＋a4)]
＝S4＋q4S4＋q8S4＝S4(1＋q4＋q8).◆方法技巧
等比数列前n项和性质应用的关注点
(1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解.
(2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列.类型三 等比数列前n项在生活中的应用
[例3] (链接教材P56例2)某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它价值的10%，当年折旧费用也为该年花费在轿车上的费用).试问：使用多少年后，该单位花在轿车上的费用就达36万元？并说明理由.◆方法规律
解决数列应用问题的注意点
(1)解决数列应用问题应注意所求的问题是等差数列问题，还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是项数的多少.
(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来.
(3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
提醒：数列应用问题，搞清是求通项还是前n项和是解题的关键.[突破练2]
(2017·新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏答案 B本课结束
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1.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是
A.1，1 B.－1，－1
C.1，0 D.－1，0
解析 S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
答案 D
2.数列{n·2n}的前n项和等于
A.n·2n－2n＋2 B.n·2n＋1－2n＋1＋2
C.n·2n＋1－2n D.n·2n＋1－2n＋1
解析 设{n·2n}的前n项和为Sn，
则Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，
所以Sn＝n·2n＋1－2n＋1＋2，
故选B.
答案 B
3.数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为
A.2100－101 B.299－101
C.2100－99 D.299－99
解析 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
答案 A
4.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为________.
解析 ∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4，
∴3q2＝2q＋q3.
又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝，
即是首项为，公比为的等比数列，
∴数列的前4项和为＝.
答案
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6等于
A.282 B.147 C.45 D.70
解析 S6＝a1＋a2＋…＋a6＝(2＋22＋…＋26)＋(1＋2＋…＋6)＝147.
答案 B
2.如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝
A. B.
C. D.
解析 由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×.
∴该等比数列前n项和Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.
又∵Sn＝＝，∴an＝.
答案 A
3.已知数列an＝(n∈N*)，则数列{an}的前10项和为
A. B. C. D.
解析 an＝＝＝，
所以S10＝＝.故选C.
答案 C
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝
A.2n－1 B. C. D.
解析 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝.
答案 B
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
解析 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，
因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
答案 A
6.(能力提升)已知数列{an}的前n项和为Sn，把{Sn}的前n项和称为“和谐和”，用Hn来表示，对于an＝3n，其“和谐和”Hn等于
A. B.
C. D.
解析 由an＝3n，
可得Sn＝＝(3n－1)，
则Hn＝(3＋9＋…＋3n－n)＝·＝.故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.在等比数列{an}中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________，{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________.
解析 在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－a＝0，解得a3＝2.在等差数列中b3＝a3＝2，
所以S5＝＝＝5b3＝5×2＝10.
答案 2 10
8.1＋11＋111＋…＋＝________.
解析 因为＝1＋10＋102＋…＋10n－1＝(10n－1)，
所以Sn＝(101－1＋102－1＋103－1＋…＋10n－1)＝[(101＋102＋…＋10n)－n]
＝＝.
答案
9.(能力提升)已知数列{an}是一个公差不为0的等差数列，且a2＝2，并且a3，a6，a12成等比数列，则＋＋＋…＋＝________.
解析 ∵{an}为等差数列，∴a3＝a2＋d＝2＋d，a6＝a2＋4d＝2＋4d，a12＝a2＋10d＝2＋10d，又∵a3，a6，a12成等比数列，∴a＝a3a12?(2＋4d)2＝(2＋d)(2＋10d)?d＝1，∴an＝a2＋(n－2)d＝n，∴＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)求和：Sn＝＋＋…＋(x≠0).
解析 当x≠±1时，
Sn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上知，
Sn＝
11.(12分)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，则解得
∴数列{an}的通项公式an＝－3n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列
∴an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，∴bn＝3n－2＋cn－1，∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1).
当c＝1时，Sn＝＋n＝；
当c≠1时，Sn＝＋.
∴Sn＝
12.(12分)(能力提升)(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式.
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得
Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)·2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)·2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2]
＝3×＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
课件24张PPT。第2课时 等比数列习题课 [学习目标]
1.通过例题的讲解，掌握错位相减法所解决的类型及方法.(重点)
2.会将非等比数列转化为等比数列问题求解.
3.能够用等差数列、等比数列的知识，解决数列的综合问题.(难点)?知识点 错位相减法
【探究1】 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？并归纳求和步骤？提示 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.这种求和方法叫做错位相减法.
错位相减法求和的步骤：
步骤1→写出Sn＝a1＋a2＋…＋an；
步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan；
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和；
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.【探究2】 如果数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，利用错位相减法如何求数列{an·bn}的前n项和？[突破练1]
求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).◆方法规律
分组求和法的求和思路
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和然后相加减.例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.[突破练2]
求数列1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋ an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N*)类型三 等比数列的综合应用
[例3] (2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和.◆方法规律
等差数列与等比数列综合问题的解题策略
(1)关键点：分清哪个是等差数列，哪个是等比数列，求出所给数列的通项公式.
(2)结合点：等差数列与等比数列的公共问题(如公共项、或项之间的数量关系)的表示.
(3)方法：利用等差、等比数列的基本量(首项、公差、公比等)表示关系，进行求解.[突破练3]
已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.本课结束
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