第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
1.设a，b，c∈R，且a＞b，则
A.ac＞bc B.a2＞b2
C.a3＞b3 D.＜
解析 当c≤0时，A不成立；当b＜a＜0时，B不成立；
当a＞0，b＜0时，D不成立，C正确.选C.
答案 C
2.下列命题中正确的是
A.a＞b，c＞d?a－c＞b－d B.a＞b?＞
C.ac＜bc?a＜b D.ac2＞bc2?a＞b
解析 对于A，如3＞2，2＞0，但3－2＞2－0不成立，故A不正确；对于B，当c＜0时，a＞b?＜，故B不正确；对于C，当c＜0时，ac＜bc?a＞b，故C不正确，D正确，选D.
答案 D
3.某建筑公司为保障安全生产，规定建筑施工场地的噪音强度x昼间不超过85 dB，户外施工气温y不高于35 ℃，用不等式表示为
A.x≤85 dB B.y≤35 ℃
C.x≤85 dB或y≤35 ℃ D.x≤85 dB且y≤35 ℃
解析 据题意知噪音强度x≤85 dB和户外施工气温y≤35 ℃，这两个条件应同时成立，故选D.
答案 D
4.已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为________.
解析 (x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，
因为x＜1，
所以x－1＜0，x－2＜0，
所以(x－1)(x－2)＞0，所以x2＋2＞3x.
答案 x2＋2＞3x
5.给出的四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.能得出＜成立的是________(填条件序号).
解析 由＜，可得－＜0，
即＜0，
故①②④可推出＜.
答案 ①②④
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.若－2<α<β<1，则下列不等式中恒成立的是
A.－3<α－β<0 B.－3<α－β<－1
C.－2<α－β<0 D.－2<α－β<1
解析 ∵－2<α<1，－1<－β<2，∴－3<α－β<3，又α<β，∴－3<α－β<0.
答案 A
2.已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是
A.a2＜ab B.＜＜0
C.|a|＜|b| D.＜
解析 因为a＜b＜0，所以令a＝－2，b＝－1，经检验B正确，A、C、D错误.
答案 B
3.若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析 由＜＜0，得a＜0，b＜0，故a＋b＜0且ab＞0，所以a＋b＜ab，即①正确；由＜＜0，得＞，两边同乘|ab|，得|b|＞|a|，故②错误；由①②知|b|＞|a|，a＜0，b＜0，那么a＞b，即③错误，故选B.
答案 B
4.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 对于①，令a＝2，b＝－1，c＝－2，d＝－1得ad＜bc，故①不成立.对于②，由已知－a＜b＜0，c＜d＜0，所以a＞－b＞0，－c＞－d＞0，所以－ac＞bd，所以ac＋bd＜0.
又由c＜d＜0得cd＞0.
所以＋＜0，故②成立.
对于③，由c＜d得－c＞－d，又a＞b，所以a－c＞b－d，故③成立，④成立.故选C.
答案 C
5.不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ∵a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，∴a2＋2>2a，①恒成立；a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，②恒成立；a2＋b2－ab＝＋b2＝＋b2≥0，∴a2＋b2≥ab，③恒成立，故选D.
答案 D
6.(能力提升)(2016·全国Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则
A.ac＜bc B.abc＜bac
C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc
解析 对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，故A不正确.对于选项B，abc＜bac?＜，又y＝是减函数，故B不正确.对于选项D，由对数函数的图象与性质可知D不正确.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.已知0
0，则与的大小关系为：________.
解析 －＝
＝＝，∵00，
∴>0，∴>.
答案 >
8.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d解析 由a－d＝c－b，a＋d又b－d＝c－a>0，得b>d，又d>c，故a答案 a9.(能力提升)给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c；②若a2x＞a2y，则x＞y；③若a＞b，则＞；④若＜＜0，则ab＜b2.
其中正确命题是________.(填上所有正确命题的序号)
解析 ①由c＞d得－d＞－c，同向不等式相加得a－d＞b－c；②若a2x＞a2y，显然a2＞0，所以x＞y成立；③a＞b，则＞不一定成立，如a＝1，b＝1；④若＜＜0，则b＜a＜0，所以b2－ab＝b(b－a)＞0，即ab＜b2.
答案 ①②④
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，试用不等式(组)将题目中的不等关系表示出来.
答案
11.(12分)(1)a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明 (1)由于－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，∴－<0，
即<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.
12.(12分)(能力提升)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这两车队的原价，车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
解析 设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝nx，
所以y1－y2＝x＋xn－xn＝x－nx
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1当0y2.
因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
课件29张PPT。第三章 不等式§3.1 不等关系与不等式 [学习目标]
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.(难点)
2.初步学会作差法比较两实数的大小.
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.(重点)1.不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接_______或_______，以表示它们之间的不等关系.含有这些______的式子叫做不等式.两个数代数式不等号2.比较两个实数a，b大小的依据a－b＞0a－b＜0a－b＝0a＞c a＋c＞b＋c a＋c＞b＋d ac＜bc ac＞bd (5)正数乘方性：a＞b＞0?______(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a＞b＞0?_________(n∈N*，n≥2).
[提醒] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.an＞bn?知识点一 用不等式(组)表示不等关系
【探究1】 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？【探究2】 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.请在下表中填上与常见文字语言对应的数学符号？提示 ＞；＜；≥；≤?知识点二 不等式的性质
【探究1】 两个同向不等式相加，不等号方向不变；两个同向不等式相减，不等号的方向仍然不变吗？
提示 不一定.如8>3，－2>－9，8－(－2)<3－(－9).【探究2】 若a提示 ∵a∴－c>－d>0，－a>－b>0，∴ac>bd.类型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] (链接教材P72问题1～3)某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.◆方法技巧
用不等式(组)表示不等关系的解题思路
用不等式(组)正确表示出不等关系，要先弄清题意，分清是常量与常量，变量与变量，变量与常量，还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接.要注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围.类型二 比较数(式)的大小
[例2] (1)设m＝2a2＋2a＋3，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________.
(2)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小.[答案] (1)m＞n (2)x＞y[母题变式]
例2(2)中的条件m≠n若去掉，其他条件不变，结论又如何呢？◆方法技巧
作差法比较大小的步骤及变形技巧
(1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论.
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分； ④分母或分子有理化.◆方法技巧
不等式性质解题的策略
(1)利用不等式判断正误的两种方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.(2)利用性质证明不等式的注意点
利用不等式的性质证明不等式，要注意应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明，不能随便引用一些简易结论作为论证依据，否则会造成论证不严谨.
[突破练3]
(1)给定下列命题：
①a＞b?a2＞b2；②a2＞b2?a＞b；③a＞b?＜1；④a＞b，c＞d?ac＞bd；⑤a＞b，c＞d?a－c＞b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号).
(2)已知a＋b<0，且a>0，则a2，－ab，b2的大小关系为________.答案 (1)①②③④⑤ (2)a2＜－ab＜b2本课结束
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