§3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式的解法
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为
A.) B.)
C.) D.)
解析 因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为).
答案 A
2.设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)＜0的解集为
A. B.{x|x＞a}
C. D.
解析 ∵a＜－1，∴a(x－a)·＜0?(x－a)·＞0.又a＜－1，∴＞a，∴x＞或x＜a.
答案 A
3.不等式2x2－x－1＞0的解集是________.
解析 由2x2－x－1＞0，得(x－1)(2x＋1)＞0，解得x＞1或x＜－，
从而得原不等式的解集为∪(1，＋∞).
答案 ∪(1，＋∞)
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________.
解析 由表格可知，函数的图象开口向上，且零点为x＝－2，x＝3，因此图象关于x＝对称，从而不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞).
答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)
5.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是)，则ax2－bx＋c＞0的解集为________.
解析 由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a＜0，故，
解得a＝c，b＝c.
所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，
解得＜x＜2，
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.
答案
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2016·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝
A. B.
C. D.
解析 由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝)，则A∩B＝.
答案 D
2.设－1＜a＜0，则关于x的不等式(x－a)(ax－1)＞0的解集为
A. B.{x|x＞a}
C. D.
解析 ∵－1＜a＜0，
∴(x－a)(ax－1)＞0可化为(x－a)·a＞0，
∴(x－a)＜0.又－1＜a＜0，∴a＞，
∴原不等式解集为＜x＜a.
答案 C
3.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为
A.(0，2) B.(－2，1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－1，2)
解析 由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案 B
4.关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－1，3)
C.(1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 ∵关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，∴ 即
∴不等式(ax＋b)(x－3)>0?a(x＋1)(x－3)>0?(x＋1)(x－3)>0?x<－1或x>3.
答案 A
5.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为
A.{x|x<－1或x>lg 2} B.{x|－1
C.{x|x>－lg 2} D.{x|x<－lg 2}
解析 由题意可知f(x)＝－(x＋1)(2x－1)，则f(10x)＝－(10x＋1)(2·10x－1)>0，
即(10x＋1)(2·10x－1)<0，∵10x＋1>0，∴2·10x－1<0，解得x<－lg 2.
答案 D
6.(能力提升)已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA.a<α<βC.α解析 ∵α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，
∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2的图象与x轴交点的横坐标.
∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，
令g(x)＝(x－a)(x－b)，
∴a，b为g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
由于f(x)的图象可由g(x)的图象向上平移2个单位得到，故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________.
解析 ∵0＜t＜1，∴＞1，
所以(x－t)＜0的解集为).
答案 )
8.已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________.
解析 f(x)>x?或或?x>5或－5∴不等式f(x)>x的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).
答案 (－5，0)∪(5，＋∞)
9.(能力提升)关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________.
解析 ∵ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
∴解得
∴bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，
解得x＞1或x＜－2.
答案 {x|x＞1或x＜－2}
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)解下列关于x的不等式：
(1)(7－x)(x＋2)≥0；(2)－9x2＋3x－≥0；
(3)－x2＋2x－5>0；(4)－2x2＋3x－2<0.
解析 (1)原不等式化为(x－7)(x＋2)≤0，
所以－2≤x≤7.
故所求不等式的解集为{x|－2≤x≤7}.
(2)原不等式化为9x2－3x＋≤0，
即≤0，所以x＝.
故所求不等式的解集为.
(3)原不等式化为x2－4x＋10<0，即(x－2)2＋6<0，故所求不等式的解集为?.
(4)原不等式化为2x2－3x＋2>0，即2＋>0.所以x∈R.
故所求不等式的解集为R.
11.(12分)解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a∈R).
解析 原不等式可化为(x－1)(ax＋1)＞0.
(1)当a＝0时，原不等式为x－1＞0，
所以解集为{x|x＞1}.
(2)当a＞0时，－＜1，
所以原不等式的解集为.
(3)当a＜0时，①当－1＜a＜0时，－＞1.
所以原不等式的解集为.
②当a＝－1时，原不等式变为－(x－1)2＞0，
所以解集为?.
③当a＜－1时，－＜1，
所以原不等式的解集为.
12.(12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|αα>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集.
解析 ∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α∴α，β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0.
∴αβ＝，α＋β＝－，∴c＝aαβ，b＝－a(α＋β).
∵cx2＋bx＋a<0，∴aαβx2－a(α＋β)x＋a<0.
整理，得αβx2－(α＋β)x＋1>0.
∵β>α>0，∴αβ>0，>，
∴x2－x＋>0.
∵方程x2－x＋＝0的两根为，.
∴x2－x＋>0的解集为
，
即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
课件25张PPT。§3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不等式的解法 [学习目标]
1.通过实例了解一元二次不等式.
2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系.(难点)
3.掌握一元二次不等式的解法.(重点)1.一元二次不等式的定义
不等式未知数的个数：__________.
不等式未知数的最高次数是___.只含有一个2{x|xx2} R {x|x1【探究1】 关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数的条件是什么？【探究2】 不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为?的条件是什么？?知识点二 三个“二次”之间的关系
【探究】 一元二次不等式的解集的端点值与一元二次方程的根之间存在怎样的关系？
提示 一元二次不等式解集的端点值即为相应一元二次方程的实根.[答案] (1)(－2，1) (2){x|x>2}◆方法技巧
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.答案 (1)(－∞，－3)∪[5，＋∞) (2)C类型二 解含参数的一元二次不等式(重点突破)
[例2] 解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0).[母题变式1]
若将例2改为“ax2－(2a＋1)x＋2＞0(a＜0)”，又如何求解？[母题变式2]
若例2中的条件“(a＞0)”去掉，又如何求解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0呢？◆方法技巧
解含参数的一元二次不等式的方法
(1)二次项的系数若含有参数，要分系数等于0、小于0、大于0讨论，然后将不等式的二次项系数化为正数.
(2)若判别式不确定，需讨论判别式与0的关系.
(3)确定方程无实根时，可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两个根的大小关系，从而写出解集.类型三 三个“二次”关系的应用
[例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.◆方法规律
三个“二次”之间的关系
三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：解析 (1)m(x－1)＞x2－x?x2－(1＋m)x＋m＜0，因为其解集为{x|1＜x＜2}，所以1和2是方程x2－(1＋m)x＋m＝0的两个根.由根与系数的关系知，1＋m＝1＋2＝3，且m＝1×2，解得m＝2.答案 (1)2 (2)A本课结束
请按ESC键返回第2课时 一元二次不等式及其解法习题课
1.不等式≤0的解集为
A. B.
C.∪[0，＋∞) D.∪[0，＋∞)
解析 原不等式等价于
，
即，即－≤x＜0.
故原不等式的解集为.
答案 B
2.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是
A.(－2，2] B.[－2，2]
C.(2，＋∞) D.(－∞，2]
解析 当a－2＝0，即a＝2时，符合题意；当a－2≠0时，需满足a－2＜0且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4＜0，即－2＜a＜2，故选A.
答案 A
3.已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，则m等于
A.1 B.2
C.1或 D.1或2
解析 因为Q＝)＝{1，2}，
所以m＝1或2.
答案 D
4.若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析 设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
所以f(x)在x∈[0，1]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3.
所以要使x2－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立，
则需m≤－3.
答案 (－∞，－3]
5.某商品每件成本价80元，售价为100元，每天售出100件，若售价降x成，售出商品数量就增加x，且售价不低于成本价.
(1)设该商店一天营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解析 (1)由题意得y＝100·100，
因售价不低于成本价，所以100－80≥0，
所以y＝20(10－x)(50＋8x)，
定义域为[0，2].
(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，
所以x的取值范围是.
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.不等式＜0的解集是
A.) B.{x|3＜x＜4}
C.) D.)
解析 不等式＜0等价于(x－4)＞0，
∴不等式的解集是).
答案 C
2.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A.(－1，1) B.(－2，2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ>0，即m2－4>0，解得m<－2或m>2.
答案 C
3.关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是
A.(－∞，0)∪(1，＋∞) B.(－1，2)
C.(1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵ax－b＞0的解集为(1，＋∞)，
∴a＝b＞0，∴＞0?＞0，
∴x＜－1或x＞2.
答案 D
4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是
A.{a|0C.{a|0解析 ∵集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，
∴不等式ax2－ax＋1<0的解集为?.
若a＝0，则ax2－ax＋1<0?1<0，
其解集为?，符合题意.
若a≠0，则解之得：0综上0≤a≤4.
答案 D
5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
解析 3 000＋20x－0.1x2≤25x?x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.
答案 C
6.(能力提升)对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是
A.(1，3) B.(－∞，1)∪(3，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4.
令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.
当a∈[－1，1]时，其图象是一条线段.
由题意当a∈[－1，1]时，g(a)>0恒成立，
故即
解之，得x>3或x<1.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.不等式≥2的解为________.
解析 原不等式可化为
即
解之，得－≤x<1或1答案 ∪(1，3]
8.已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________.
解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，即k2>2，
∴k>或k<－.
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
9.(能力提升)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 由题可得f(x)＜0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－＜m＜0.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
解析 若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3，
当m＝－1时，原不等式为4x－1<0对一切x∈R不恒成立，不合题意；当m＝3时，原不等式为－1<0对一切x∈R恒成立，符合题意.
若m2－2m－3≠0，
设f(x)＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1，
由题意得
解得－综上所述，实数m的取值范围是－11.(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
解析 设函数f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2，2]时的最小值为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－＜－2，即a＞4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，与a＞4矛盾，不符合题意.
(2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－＞2，即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a＜－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
12.(12分)(能力提升)某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解析 (1)每辆车投入成本增加的比例为x，
则每辆车投入成本为1×(1＋x)万无，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1 000×(1＋0.6x)辆.
所以y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)，
即y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1).
(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，
则
即
所以0＜x＜.即为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应在范围内.
课件28张PPT。第2课时 一元二次不等式及其解法习题课 [学习目标]
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.(重点)
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.(难点)1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞___或x＜____；
若(x－m)(x－n)＜0，则可得____＜x＜___.
有口诀如下：大于取两边，小于取中间.nmmn2.从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)从函数的角度看(以a＞0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的值满足y＞0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根就是二次函数图象与x轴交点的___坐标.横根 ?知识点 一元二次不等式恒成立问题
【探究1】 不等式f(x)＞0在区间[a，b]上恒成立的几何意义是什么？区间[a，b]与不等式f(x)＞0的解集M有什么关系？
提示 几何意义是函数y＝f(x)在[a，b]上的图象全部在x轴上方.区间[a，b]与解集M之间的关系为[a，b]?M.【探究2】 不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立的条件是什么？类型二 不等式恒成立问题(难点突破)
[例2] 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.[母题变式]
把例2(2)改为：对于任意m∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实数x的取值范围是________.◆方法技巧
不等式恒成立问题的常用解题方法
方法一：考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；
方法二：若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象性质建立参变量的不等式(组)求解.[突破练2]
当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________.答案 (－∞，－5]◆方法技巧
用一元二次不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.[突破练3]
某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.本课结束
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