§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1.点A(2，3)在直线2x＋y－6＝0的
A.右上方 B.左上方
C.右下方 D.左下方
解析 由2x＋y－6＝0，得y＝－2x＋6.当x＝2时，y＝2＜3，所以点A(2，3)在直线2x＋y－6＝0的上方，又直线的斜率k＝－2＜0，所以点A(2，3)在直线2x＋y－6＝0的右上方，故选A.
答案 A
2.如图，阴影部分是下列哪个二元一次不等式表示的平面区域
A.x－y＋1＜0 B.x－y＋1＞0 C.x－y＋1≤0 D.x－y＋1≥0
解析 由题图可知原点在二元一次不等式所示的区域内，把原点代入检验知A、C错误.又图中所示区域不包括边界，故选B.
答案 B
3.不等式(x－y)(x＋2y－2)≥0表示的平面区域的大致图形是
解析 原不等式化为或
分别画出两不等式组表示的区域，则它们的并集为所求.
答案 B
4.不等式组表示的平面区域内的整点坐标为________.
解析 画出平面区域可知，区域内点的横坐标在区间(0，3)内，取x＝1，2.当x＝1时，代入原不等式组，得0
答案 (1，1)，(1，2)，(2，1)
5.不等式组表示的平面区域的面积为________.
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
由，得A(8，－2).
由x＋y－2＝0，得B(0，2).
又|CD|＝2，
故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.
答案 4
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.下列各点中，在不等式x－y＋1≤0表示的平面区域内的是
A.(0，0) B.(1，0) C.(5，5) D.(1，3)
解析 把各点的坐标代入不等式x－y＋1≤0验证知(1，3)成立.
答案 D
2.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是
A.a<－1或a>24 B.－24C.－77
解析 要使点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0即可，由此解得－7答案 C
3.图中阴影部分表示的平面区域对应的二元一次不等式组为
A. B.
C. D.
解析 由题图中直线x－2y＋2＝0为虚线知应排除A、D选项；又平面区域在x＋y－1＝0的上方，则x＋y－1＞0，故排除B选项，C正确.
答案 C
4.下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内，且到直线x－y＋1＝0的距离为的点是
A.(－1，1) B.(－2，1) C.(0，3) D.(1，1)
解析 把点的坐标代入可知点(－2，1)，(1，1)不在不等式组表示的平面区域内，排除B和D，点(－1，1)到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，点(0，3)到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，故选A.
答案 A
5.(2016·浙江)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)，B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是.
答案 B
6.(能力提升)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示.
不难求得A(1，1)，B(0，4)，C，注意到直线y＝kx＋恒过点C，因此要使面积被直线平分，只需直线过线段AB的中点，即，将其坐标代入y＝kx＋中，得＝k×＋，则k＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.不等式组所表示的平面区域的面积是________.
解析 不等式组所表示的平面区域为三条直线所围成的三角形区域(直线x－y＋4＝0的右侧，直线x＋y＝0的右侧，直线x＝3的左侧)，求得三角形的三个顶点分别为(－2，2)，(3，－3)，(3，7).注意到l1：x－y＋4＝0，l2：x＋y＝0，l1⊥l2，不难求出面积为25.
答案 25
8.设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________.
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝＜1，且过点B作直线2x－y＝0的垂线的垂足在不等式组表示的平面区域内，故最小距离为.
答案
9.(能力提升)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________.
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0，5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5答案 [5，7)
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)画出不等式组表示的平面区域，并指出x，y的取值范围.
解析 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合.所以，不等式组表示的平面区域如图所示.
结合平面区域可得x∈，y∈[－3，8].
11.(12分)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
解析 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组各个不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.
12.(12分)(能力提升)配制A、B两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药品需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法？
解析 设A、B两种药品分别配x剂、y剂(x，y∈N*).由题意得
甲料
乙料
A药品/剂
3 mg
5 mg
B药品/剂
5 mg
4 mg
共计
20 mg
25 mg
则有
作出平面区域，如图中阴影部分所示.
∵x，y∈N*，∴区域内的所有整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共8个点.
所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法.
课件26张PPT。§3.3 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 [学习目标]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义，并会画其表示的平面区域.
3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组，并能用平面区域表示二元一次不等式组的解集.(重点、难点)1.二元一次不等式(组)的概念
(1)含有____未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组.
(2)满足_____________________________构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.两个一次二元一次不等式(组)的x和y的取值2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法
(1)二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线__________________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_________以表示区域不包括边界.
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________.Ax＋By＋C＝0虚线实线(2)二元一次不等式表示平面区域的确定
①直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都_______.
②在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由_________________的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.相同Ax0＋By0＋C?知识点一 二元一次不等式表示平面区域
【探究1】 如何确定不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域？
提示 可在直线的某一侧取某个特殊点P(x0，y0)(通常取(0，0))作为测试点，若不等式Ax0＋By0＋C＞0成立，则不等式Ax＋By＋C＞0表示点P(x0，y0)所在的那一侧，否则表示直线Ax＋By＋C＝0的另一侧.【探究2】 若在直线l异侧任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C的积的符号又如何？
提示 若P，Q在l的异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，即(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)＜0.?知识点二 二元一次不等式组表示的平面区域
【探究】 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集还是并集？为什么？
提示 由于所求平面区域的点的坐标要同时满足不等式组中的每一个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集.◆方法技巧
画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，其一般步骤是：
(1)“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，若有等号， 则画实线；若无等号，则画虚线.
(2)“特殊点定域”，即取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，根据Ax0＋By0＋C的符号确定出相应的不等式表示的平面区域.一般地，当C＝0时，常把(1，0)或(0，1)作为特殊点；当C≠0时，取(0，0)作为特殊点.[突破练1]
在直角坐标系中，满足不等式y2－x2≤0的点的集合是答案 C[自主解答] (1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x＞0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y＞0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图甲所示.◆方法技巧
求平面区域的面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.答案 C类型三 二元一次不等式组表示实际问题(重点突破)
[例3] (链接教材P85例3、例4)某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.◆方法技巧
用二元一次不等式组表示实际问题的方法
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示.
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来.
(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式.
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.[突破练3]
投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求.本课结束
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