§3.3.2 简单的线性规划问题
1.(2017·浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是
A.[0，6] B.[0，4] C.[6，＋∞) D.[4，＋∞)
解析 作出不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，
将z＝x＋2y变形为y＝－＋，由图可知y＝－＋过点(2，1)时z取到最小值为4，故z∈[4，＋∞).
答案 D
2.目标函数z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为
A.(0，1) B.(－1，－1)
C.(1，0) D.
解析 可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除选项A、B、D，故选C.
答案 C
3.(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是
A.4 B.9 C.10 D.12
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.
由
解得
故A(3，－1)，
由解得
故B(0，－3)，由
解得故C(0，2).
|OA|2＝10，|OB|2＝9，|OC|2＝4.
显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2＋y2取得最大值.
所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.
答案 C
4.一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元.
解析 设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则
即z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－x＋，作出直线y＝－x，在可行域内平移直线y＝－x，
可知当直线y＝－x＋过点B时，纵截距有最大值，
由，解得B，
故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1 650元，
故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元.
答案 1 650
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2017·山东)已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是
A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析 作出不等式组的可行域如图(阴影部分)所示，
由z＝x＋2y得y＝－x＋，平移直线y＝－x，由图象可以知道当直线y＝－x＋经过点A时截距最大，此时z最大，由得A(－1，2)，代入z＝x＋2y＝－1＋2×2＝3.即z＝x＋2y的最大值为3.
答案 D
2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为
A.3 B.4 C.18 D.40
解析 由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，
当动直线x＋6y－z＝0过点(0，3)时，zmax＝0＋6×3＝18.故选C.
答案 C
3.设实数x，y满足不等式组则的取值范围是
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，点A(－3，0)与点(x，y)连线的斜率为，
则kAC≤≤kAB，
而kAC＝＝，kAB＝＝.故选B.
答案 B
4.(2016·北京)已知A(2，5)，B(4，1).若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为
A.－1 B.3 C.7 D.8
解析 如图所示，作直线2x－y＝0，向右下平移，当直线过点B(4，1)时，z＝2x－y取最大值，得zmax＝2×4－1＝7，故选C.
答案 C
5.已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝
A. B. C.1 D.2
解析 画出可行域如图所示，直线z＝2x＋y可化为y＝－2x＋z，由图可知，z＝2x＋y在点A处取得最小值1，此时2x＋y＝1，联立方程得得A(1，－1)，代入y＝a(x－3)得a＝.
答案 B
6.(能力提升)某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
解析 假设每天生产甲、乙产品分别为x，y吨，
由已知得
利润z＝3x＋4y.
由线性约束条件画出如图所示的可行域，由几何意义，可知z在点A(2，3)处取得最大值，
此时zmax＝3×2＋4×3＝18.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
解析 通解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.
优解 易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.
答案 3
8.已知a＞0，b＞0，且满足2＜a＋2b＜4.则a2＋b2的取值范围是________.
解析 可行域如图阴影部分所示.
点O到AB的距离
d＝＝.
OD＝4.
所以＜a2＋b2＜16.
答案
9.(能力提升)已知x，y满足约束条件如果是z＝ax－y取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是________.
解析 画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程y＝ax－z，当目标函数的斜率大于等于3y－x＝2的斜率时，直线y＝ax－z在点处截距最小，即a≥时，是目标函数z＝ax－y取得最大值时的最优解.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围.
解析 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)，平移初始直线y＝x，过A(3，4)时z取得最小值－2，过C(1，0)时，z取得最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)由ax＋2y＝z，得y＝－x＋，因为直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4，2).
11.(12分)设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，求m的取值范围.
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，直线y＝mx与x＋y＝1的交点为A，则A.由图可知z＝x＋my在点A处取得最大值，则＋＜2，又m＞1，
即解得1＜m＜＋1，即m的取值范围为(1，1＋).
12.(12分)(能力提升)某家公司每月生产两种布料A和B，所用原料是两种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.
羊毛颜色
每匹需要(kg)
供应量(kg)
布料A
布料B
红
4
4
1 400
绿
6
3
1 800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为120元、80元.那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？
解析 设每月生产布料A为x匹、生产布料B为y匹，利润为Z元，那么 ①；
目标函数为z＝120x＋80y＝40(3x＋2y)，作出二元一次不等式组①所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.
解方程组得M点的坐标为(250，100).
所以当x＝250，y＝100时，zmax＝120x＋80y＝38 000.
课件32张PPT。§3.3.2 简单的线性规划问题 [学习目标]
1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，了解线性规划的意义.
2.能够利用图解法求解基本的线性规划问题.
3.能够利用线性规划知识解决实际优化问题.线性规划问题的有关概念二元一次二元一次解(x，y)集合[点拨] (1)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.
(2)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合.?知识点 简单的线性规划问题
【探究1】 若将目标函数z＝2x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
提示 ∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，∴z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距.【探究3】 式子(x－a)2＋(y－b)2表示的几何意义是什么？
提示 (x－a)2＋(y－b)2表示点A(x，y)与B(a，b)两点间距离的平方.[答案] (1)A (2) 6 ◆方法技巧
图解法求线性目标函数最值的一般步骤
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域.
(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
(3)求：通过解方程组求出最优解.
(4)答：根据所求得的最优解得出答案.答案 B[母题变式]
若例2条件不变，则(x－1)2＋y2的最小值为________.类型三 线性规划的实际应用(重点突破)
[例3] (链接教材P88例5、例6)(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.[答案] 216 000◆方法技巧
利用线性规划解决实际问题的步骤
(1)设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；
(2)列出约束条件，确立目标函数；
(3)作出可行域；
(4)利用图解法求出最优解；
(5)得出结论.[突破练2]
某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为
A.31 200元 B.36 000元
C.36 800元 D.38 400元即C(5，12)，代入z＝1 600x＋2 400y得z＝1 600×5＋2 400×12＝36 800，选C.
答案 C答案 (1)C (2)D◆方法技巧
含参数的线性规划问题的求解策略
(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值.
(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值.解法二 因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2，0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.
答案 B本课结束
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