§3.4 基本不等式： ≤
第1课时 基本不等式
1.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是
A.lg(x2＋1)≥lg(2x) B.x2＋1＞2x
C.≤1 D.x＋≥2
解析 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立.对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立.故选C.
答案 C
2.设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是
A.＋＜1 B.＋≥1
C.＋＜2 D.＋≥2
解析 因为ab≤≤＝4，
所以＋≥2≥2＝1.
答案 B
3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则
A.＞ B.＜
C.＝ D.≤
解析 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.
答案 A
4.a2＋b2＋c2＋3________2(a＋b＋c)(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).
解析 因为a2＋b2＋c2＋3＝(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)≥2a＋2b＋2c＝2(a＋b＋c).
所以a2＋b2＋c2＋3≥2(a＋b＋c).
(当且仅当a＝1，b＝1，c＝1时等号成立)
答案 ≥
5.已知a，b是正数，求证≤.
解析 ∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤＝，
即≤(当a＝b时取“＝”).
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.有下列式子：①a2＋1＞2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确.
答案 C
2.下列不等式中正确的是
A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab
C.≥ D.x2＋≥2
解析 a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确.
答案 D
3.若a>b>0，则下列不等式成立的是
A.a>b>> B.a>>>b
C.a>>b> D.a>>>b
解析 a＝>>>＝b，因此只有B项正确.
答案 B
4.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是
A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|
C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2＞2|ab|
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立.)
答案 A
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则
A.a＜v＜ B.v＝
C.＜v＜ D.v＝
解析 v＝＝＜＝.因为－a＝＝＞＝0，
所以＞a，即v＞a.故选A.
答案 A
6.(能力提升)若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是
A.＜＜ B.≥≥
C.＞＞ D.＜＜
解析 a＞b＞0，＞，＜＝，从而＞＞.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).
解析 因为a2＋a－2＞0，所以a＜－2或a＞1，
又a＞0，所以a＞1，
因为t＞0，所以≥，
所以loga≥loga＝logat.
答案 ≤
8.某市一外贸公司，第一年产值增长率为a，第二年产值增长率为b，这两年的平均增长率为x，那么x与的大小关系是________.
解析 依题意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤＝，
所以1＋x≤1＋，即x≤.
答案 x≤
9.(能力提升)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________.(填序号)
解析 因为ab≤＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确.
答案 ①③④
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.
求证：＋＋＜＋＋.
证明 因为a，b，c都是正实数，且abc＝1.
所以＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.
因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，
所以＋＋＜＋＋.
11.(12分)已知0＜x＜1，试比较2＋log2x＋与2－2的大小.
解析 因为0＜x＜1，所以log2x＜0，＜0.
所以－log2x＞0，－＞0.
所以(－log2x)＋
≥2 ＝2，
即－≥2，
当且仅当－log2x＝－，
即log2x＝－时等号成立，
所以log2x＋≤－2，
可得2＋log2x＋≤2－2.
12.(12分)(能力提升)已知a＞0，b＞0，c＞0且不全相等，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明 因为a，b，c＞0且不全相等，
所以＞，＞，＞，
所以··＞abc，
所以lg＞lg(abc)，
所以lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
课件19张PPT。第1课时 基本不等式 [学习目标]
1.理解基本不等式的内容及证明.(难点)
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(重点)1.重要不等式与基本不等式2ab a＝b 几何平均数 算术平均数 2 2 1 a＝b －1 a＝b [答案] (3)答案 ②◆方法技巧
利用基本不等式比较实数大小的注意事项：
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.答案 P＜Q＜R◆方法技巧
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.本课结束
请按ESC键返回第2课时 基本不等式的应用
1.已知x＜－2，则函数y＝2x＋的最大值为
A.2 B.2－4 C.－2－4 D.－2
解析 因为x＜－2，所以x＋2＜0，y＝2(x＋2)＋－4≤－2 －4＝－2－4，
故选C.
答案 C
2.若正数a，b满足ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值是
A.2＋2 B.2－2 C.＋2 D.－2
解析 由于ab－(a＋b)＝1，所以ab＝a＋b＋1.而ab≤，所以a＋b＋1≤(a＋b)2.令a＋b＝t(t＞0)，所以t＋1≤t2，解得t≥2＋2，即a＋b≥2＋2.
答案 A
3．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
解析 由题知a－3b＝－6，因为2a＞0，8b＞0，所以2a＋≥2× ＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．
答案
4.已知x，y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.
解析 (1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值.
(2)xy≤＝＝，即xy的最大值是.当且仅当x＝y＝时xy取最大值.
答案 (1)2 (2)
5.当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________.
解析 当x>1时，x－1>0，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3.
即＝3.
由于当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，
所以a≤3.∴a的最大值为3.
答案 3
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为
A.2 B.4 C.2 D.8
解析 由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.则＋≥2＝2，故＝2，当且仅当2y＝5x时取等号.又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立.
答案 A
2.若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有
A.最大值64 B.最小值
C.最小值 D.最小值64
解析 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴＋＝1≥2，
即xy≥64，当且仅当y＝4x＝16时取等号.
∴xy有最小值64.
答案 D
3.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为
A.8 B.4 C.1 D.
解析 ∵是3a和3b的等比中项，∴3a·3b＝3，即3a＋b＝3，∴a＋b＝1.
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.
答案 B
4.若正数x，y，满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 3x＋y＝5xy?＋＝5，
4x＋3y＝(4x＋3y)＝
≥＝5.
(当且仅当y＝2x时取等号，即4x＋3y的最小值是5)
答案 D
5.已知a＞0，b＞0且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于
A.10 B.9 C.8 D.7
解析 ＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为9，又因为＋≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9.
答案 B
6.(能力提升)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
解析 设底面矩形的一边长为x m，由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为 m.记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立.
因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.若x≥0，则y＝x＋的取值范围为________.
解析 y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3.因此y＝x＋的取值范围为[3，＋∞).
答案 [3，＋∞)
8.(2017·山东)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.
解析 ∵直线＋＝1过点(1，2)，
∴＋＝1且a＞0，b＞0.
∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当b＝2a时，等号成立.
答案 8
9.(能力提升)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是________.
解析 (x＋y)＝1＋a＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2.当且仅当a·＝，即ax2＝y2时，“＝”成立.
∴(x＋y)的最小值(＋1)2≥9，解得a≥4.
答案 4
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知函数y＝(x>－2).
(1)求的取值范围；
(2)当x为何值时，y取何最大值？
解析 (1)设x＋2＝t，x＝t－2，t>0(∵x>－2)，
则＝＝＝＝t＋－3≥2－3，
∴所求范围为[2－3，＋∞).
当且仅当t=,即x=-2时等号成立.
(2)欲使y最大，必最小，此时t＝，t＝，x＝－2，y＝，
∴当x＝－2时，y取最大值为.
11.(12分)如图，围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的一扇门，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，一扇门的造价为600元，设利用的旧墙的长度为x m，总造价为y元.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解析 (1)如题图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＋600＝225x＋360a＋240，由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋＋240(x>0).
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800，∴y＝225x＋＋240≥11 040.
当且仅当225x＝时，即x＝24等号成立.
所以当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是11 040元.
12.(12分)(能力提升)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数).记F为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；
(2)当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？
解析 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由C(0)＝＝24，得k＝2 400，所以F＝15×＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.
(2)因为F＝＋0.5(x＋5)－0.25≥2 －0.25＝59.75，
当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，
所以当x为55平方米时，F取得最小值为59.75万元.
课件25张PPT。第2课时 基本不等式的应用 [学习目标]
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(重点)
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(难点)≤ ≤ a＝b ◆方法技巧
利用基本不等式求最值的方法
(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时，直接用公式求解.
(2)若条件不满足时，则需对条件作适当调整和转化，使其满足.答案 8[答案] (1)D (2)18◆方法技巧
利用基本不等式求条件最值的方法答案 C类型三 基本不等式的实际应用(难点突破)
[例3] (链接教材P99例1)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？◆方法规律
应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)写出正确答案.[突破练3]
(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.答案 30本课结束
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