课件39张PPT。章末整合提升题型二 一元二次不等式的解法及应用
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽.
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键.在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论.(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系.
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.[答案] (1)D (2)(－∞，－1)∪(2，＋∞)
(3)见解析题型三 简单的线性规划问题
1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.
2.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域.
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[答案] (1)D (2)－1[答案] (1)A (2)①1 900 ②100题型五 分类讨论思想、数形结合思想在不等式中的应用
分类讨论思想在不等式中的应用很广泛，尤其体现在含参的一元二次不等式的求解中.数形结合思想在三个“二次”的应用和线性规划的相关问题中体现的较多.解析 因为－11，所以a>b2，故选A.
答案 A答案 A3.若关于x的不等式x2－6x－m≥0对任意x∈(0，2]恒成立，则m的最大值为
A.－8 B.－6
C.6 D.8
解析 m≤x2－6x对任意x∈(0，2]恒成立，
又x2－6x＝(x－3)2－9，
所以当x∈(0，2]时，x2－6x的最小值是－8，
所以m的最大值为－8.故选A.
答案 A答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2017·陕西咸阳期末)已知x＋y＝3，则2x＋2y的最小值为________.第三章
(本卷满分150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知a1，a2∈(0，1).记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是
A.M＜N B.M＞N C.M＝N D.不确定
解析 M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，因为a1，a2∈(0，1)，所以(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0，故M＞N，故选B.
答案 B
2.若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是
A.|a|＞|b| B.＞
C.a2＋b2＞2ab D.a＋b＞－2
解析 利用特殊值法，令a＝－4，b＝－1，得a＋b＝－5＜－2＝－4，故选D.
答案 D
3.已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－1，2)，则a＋b的值为
A.1 B.－1 C.0 D.－2
解析 由已知得－＝－1＋2，＝－1×2，a＜0，解得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0，故选C.
答案 C
4.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是
A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 原不等式组等价于由题意可得1＋a2＜2a＋4?a2－2a－3＜0?－1＜a＜3.故选A.
答案 A
5.直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
∵直线2x＋y－10＝0过点(5，0)，
∴公共点只有1个.
答案 B
6.已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是
A.－1 B.－2 C.－5 D.1
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z取得最大值，故zmax＝－2×1＋1＝－1.
答案 A
7.已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是
A.2 B.2 C.4 D.5
解析 ＋＋2≥2＋2＝＋2≥2 ＝4，
当且仅当即a＝b＝1时取等号，故选C.
答案 C
8.对任意实数x，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立，则a的取值范围是
A.(－2，2] B.[－2，2]
C.(－∞，－2)∪[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪(2，＋∞)
解析 由已知得
即所以－2＜a＜2.
又当a＝2时，原不等式可化为－4＜0，显然恒成立，故a的取值范围是(－2，2].
答案 A
9.设a＞0，b＞0，则下列不等式不成立的是
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.a＋b≥2 D.a＋≥2
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋b＋≥2＋≥2(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，故A成立；(a＋b)·＝2＋＋≥4(当且仅当a＝b时取“＝”)，故B成立；a＋b≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，故C成立；对于D，取a＝1，则a＋＝1＋＜2，故D不正确.
答案 D
10.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)都成立，则a的最小值
A.0 B.－2 C.－3 D.－
解析 原不等式可化为a≥－x－，因为－x－≤－2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥－2，则a的最小值为－2.
答案 B
11.设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝
A.－5 B.3
C.－5或3 D.5或－3
解析 当a<0时，作出相应的可行域，可知目标函数z＝x＋ay不存在最小值.
当a≥0时，作出可行域如图，易知当－>－1，即a>1时，目标函数在A点取得最小值.由A，知zmin＝＋＝7，解得a＝3或－5(舍去).
答案 B
12.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为
A. B. C. D.4
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，
当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，
目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
而＋＝·
＝＋≥＋2＝(当且仅当a＝b＝时取等号).故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N)时，规定[x]＝n，则不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集是________.
解析 由不等式，得＜[x]＜，解得2≤x＜8.
答案 {x|2≤x＜8}
14．(2018·浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
解析 由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.
答案 －2 8
15.(2017·天津)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________.
解析 ∵a，b∈R，且ab＞0，
∴≥≥＝4，
又∵ab＞0时，当且仅当a＝b且ab＝时取等号，
∴原式的最小值为4.
答案 4
16.已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，那么下列不等式：①ab≤；②ab＋≥；③＋≤；④＋≥2中，恒成立的有________(填序号).
解析 ∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
∴ab≤＝，ab＋≥，(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋a＋b＝2，∴＋≤.故①②③正确.∵＋＝＋＝＋＋≥＋2 ＝＋(当且仅当a2＝2b2时等号成立)，∴④不正确.
答案 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小.
解析 －(＋)＝＋＝＋＝
＝.
因为a，b为正实数，所以＋＞0，
＞0，(－)2≥0.
于是有≥0.
当且仅当a＝b时，等号成立.
所以＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号.
18.(12分)已知不等式mx2＋nx－＜0的解集为).
(1)求m，n的值；
(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)＞0，其中a是实数.
解析 (1)依题意，
得m＝－1，n＝.
(2)原不等式为(2a－1－x)(x－1)＞0，
即[x－(2a－1)](x－1)＜0.
①当2a－1＜1即a＜1时，原不等式的解集为{x|2a－1＜x＜1}；
②当2a－1＝1即a＝1时，原不等式的解集为?；
③当2a－1＞1即a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a－1}.
综上所述：?
当a＜1时，不等式解集为{x|2a-1＜x＜1};?
当a=1时，原不等式解集为?;?
当a＞1时，不等式解集为{x|1＜x＜2a-1}.
19.(12分)已知函数f(x)＝x＋(x＞3).
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若不等式f(x)≥＋7恒成立，求实数t的取值范围.
解析 (1)因为x＞3，所以x－3＞0.
所以f(x)＝x＋＝x－3＋＋3
≥2 ＋3＝9.
当且仅当x－3＝，即(x－3)2＝9时，上式取得等号，又因为x＞3，所以x＝6，所以当x＝6时，函数f(x)的最小值是9.
(2)由(1)知，当x＞3时，f(x)的最小值是9，
要使不等式f(x)≥＋7恒成立，
只需9≥＋7，所以－2≤0即≤0，
解得t≤－2或t＞－1.
所以实数t的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞).
20.(12分)(2016·天津)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A、B、C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
解析 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.
图1 图2
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.
解方程组得点M的坐标为(20，24).
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
综上，生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
21.(12分)已知函数f(x)＝x2－x＋1，a＞0.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)比较a与的大小；
(3)解关于x的不等式f(x)≤0.
解析 (1)当a＝时，
有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
所以(x－2)≤0，
所以不等式的解集为).
(2)因为a－＝且a＞0，
所以当0＜a＜1时，有＞a.
当a＞1时，有＜a，
当a＝1时，有a＝.
(3)因为不等式f(x)＝(x－a)≤0.
当0＜a＜1时，有＞a，
所以不等式的解集为)；
当a＞1时，有＜a，
所以不等式的解集为)；
当a＝1时，不等式的解集为{1}.
22.(12分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入3张，则该月需用去运费和保管费共60元，现在全月只有52元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)请问该月应将每批进货的数量控制在什么范围内，资金才够用？写出你的结论，并说明理由；
(3)要使得该月用于支付运费和保管费的资金花费最少，每批进货的数量应为多少？
解析 (1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分批，每批价值为20x元，由题意f(x)＝·4＋k·20x，由x＝3时，y＝60得k＝，
∴f(x)＝＋4x(0(2)每批进货的数量x应控制的范围是4≤x≤9，资金才够用.理由如下：
令＋4x≤52，此不等式化为(x－4)(x－9)≤0，
解得4≤x≤9.
(3)由(1)知f(x)＝＋4x(0∴f(x)≥2＝48(元)，当且仅当＝4x，
即x＝6时，上式等号成立.
故每批购入6张书桌，可使用于支付运费和保管费的资金花费最少.
