课件31张PPT。本讲整合提升专题一 如何正确使用数学归纳法
开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手，本专题将对几种常见的错误及归纳步骤证明的基本方法进行讨论，以帮助读者进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，明确如何正确使用数学归纳法.一、两步缺一不可
1.缺第二步不可
有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k＋1)成立是必然的.因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样.显然这是不正确的，产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看.●方法技巧
我们现在可以把数学归纳法形象地比喻作攀登一个无穷的梯子的过程，证明的第一步验证P(1)成立，这表明我们能够登上这一梯子的第一级；证明了能够从P(k)过渡到P(k＋1)，就相当于我们有能力从梯子的任何一级登上更高的一级.只有同时具备了这两种能力，我们才能到达梯子的任何一级，这相当于只有同时完成了数学归纳法的两个步骤，才能保证对于任意的正整数n，P(n)成立.缺少数学归纳法的第一步，这表明我们不能登上梯子的第一级，而在这种情况下，纵然有从任何一级升到更高一级的本领也是没有用的；缺少证明的第二步，这表明即使我们登上梯子的第一级，但是我们还是不具备从任何一级登上更高一级的能力，那么我们就不能无限地攀登上去，因此，数学归纳法证明中，两个步骤互相联系，不可分裂，缺一不可.二、错在哪里
解数学题时，有时出现一些错误是不足为怪的，问题是怎样对待这些错误，如果我们善于利用各种错误的解法，分析产生的原因，研究纠正的方法，从中吸取教训，无疑这对有关数学概念、方法的理解及掌握是非常有益的，经验告诉我们，有时甚至比正面说明应该怎样做印象更深刻.下面进一步对数学归纳法证明中常见的错误进行分析，这对正确理解和掌握数学归纳法同样是十分有益的.●方法技巧
上述“证明”只是表面上套用数学归纳法的模式，不明白第二步中递推性的意义，这里由P(k)到P(k＋1)并没有推导过程，只是把原来等式中的n分别换成了k和k＋1而已，因此并不能保证可由P(k)过渡到P(k＋1)，没有递推功能也就不能断言对于任意的自然数n等式都成立.
第二步证明应改为以下的叙述就对了：专题二 数学归纳法证题的常用技巧
在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法
用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法.●方法技巧
在第二步的证明中，利用了分析法.2.放缩法
涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法.思路点拨 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论.但要注意从n＝k变化到n＝k＋1时增了多少项，少了多少项，一般用f(k＋1)－f(k)来研究增加或减少的项的多少.3.递推法
用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡.●方法技巧
数列类问题用数学归纳法证明时，一般先用递推公式，后用归纳假设.4.几何问题
“几何类”命题的证题关键是先要从证n＝k＋1时命题成立的结论中，分解出n＝k时命题成立的部分，然后去证余下的部分.●方法技巧
利用数学归纳法证明几何问题，关键是找出由n＝k到n＝k＋1时的增量.第四讲
(本卷满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取
A.2 B.3
C.5 D.6
答案 C
2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式
A.1＋<2－ B.1＋＋<2－
C.1＋<2－ D.1＋＋<2－
答案 A
3.用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是
A.假设n＝k时命题成立 B.假设n＝k(k∈N＋)时命题成立
C.假设n＝k(k≥5)时命题成立 D.假设n＝k(k>5)时命题成立
答案 C
4.用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为
A.n0＝1 B.n0＝2
C.n0＝1，2 D.以上答案均不正确
答案 A
5.利用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边
A.增加了一项
B.增加了两项和
C.增加了一项，并减少了
D.增加了两项和，并减少了
答案 D
6.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 1＋＋＋＋＋…＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案 B
7.用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是
A.
B.＋cos α
C.＋cos α＋cos 3α
D.＋cos α＋cos 2α＋3cos α
答案 B
8.设0＜θ＜，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，则猜想an＝
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2sin
答案 B
9.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立.
上述不等式成立
A.过程全部正确 B.n＝1时验证不正确
C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
10.用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成
A.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)
B.6k(k＋1)(2k＋1)
C.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
D.以上都不对
答案 C
11.用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时左边应增添的式子是
A.2k＋1 B.
C. D.
答案 B
12.下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是
A.n3＋5n B.34n＋1＋52n＋1
C.62n－1＋1 D.42n＋1＋3n＋2
答案 D
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
答案 Sn＝
14.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从“n＝k到n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________.
解析 当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)，则当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
15.若2n>2n＋1(n∈N*，且n≥n0)恒成立，则n0的最小值为________.
答案 3
16.夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀，竖切一刀，吃完后就剩下4块皮，以此类推，如果西瓜被横切n刀，竖切n刀(横切n刀切面互相平行，竖切n刀切面互相平行)，剩下的西瓜皮数记为f(n)，则f(3)＝________，f(n)＝________(答案用n表示).
解析 归纳猜想，寻找递推关系，显然f(1)＝4，f(2)＝9＋1，f(3)＝20，f(4)＝25＋9，…，f(n)＝(n＋1)2＋(n－1)2＝2(n2＋1).
答案 20 2(n2＋1)
三、解答题(共70分)
17.(10分)对于n∈N*，用数学归纳法证明：
1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2).
证明 设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
(2)设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1
＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3).
所以由(1)(2)可知当n∈N*时，等式都成立.
18.(12分)用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除.
证明 原命题可表述为n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.
(1)当n＝1时，n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3＝36，命题显然成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，那么当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·9＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3与9都能被9整除，所以[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)也能被9整除.也就是说(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除.由(1)(2)可知当n∈N*时，原命题成立.
19.(12分)用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n∈N*且n>1).
证明 ①当n＝2时，左边＝＋＋＝>1，
∴n＝2时成立.
②假设当n＝k(k≥2)时成立，即
＋＋＋…＋>1.
那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋…＋＋－>1＋＋＋…＋－>1＋(2k＋1)·－>1＋>1，
∴n＝k＋1时也成立.
根据①②可得不等式对所有的n>1都成立.
20.(12分)已知△ABC的三边长为有理数.
求证：(1)cos A是有理数；
(2)对任意正整数n，cos nA是有理数.
证明 (1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A＝是有理数.
(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.
①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数，
从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数.
当n＝k＋1时，由cos (k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，
sin A·sin (k＋1)A＝sin A·(sin Acos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·sin kA＋(sin A·sin kA)·cos A，及①和归纳假设，知cos (k＋1)A与sin A·sin (k＋1)A都是有理数.
即当n＝k＋1时，结论成立.
综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数.
21.(12分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn；
(2)设数列{an}的通项an＝loga，(其中a>0，且a≠1)，记Sn为数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论.
解析 (1)设数列{bn}的公差为d，由题意得
?所以bn＝3n－2.
(2)由bn＝3n－2知
Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga
＝loga，
而logabn＋1＝loga.
于是，比较Sn与logabn＋1的大小，即比较(1＋1)…与的大小.
取n＝1，有(1＋1)＝>＝.
取n＝2，有(1＋1)>>＝.
由此猜想：
(1＋1)…>.(*)
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已验证(*)成立.
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，(*)成立，即(1＋1)…>，
则当n＝k＋1时，
(1＋1)…>
＝.
因为－()3
＝
＝>0，
所以(3k＋2)>＝.
从而(1＋1)…>，即当n＝k＋1时(*)也成立.
由①与②知，(*)对任意正整数n都成立.
所以，当a>1时，Sn>logabn＋1，
当0
22.(12分)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
解析 (1)f(6)＝13.
(2)当n≥6时
f(n)＝(t∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；
②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3
＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1
＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2
＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2
＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2
＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1
＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立.
综上所述，结论对满足n≥6的正整数n均成立.
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一课时 数学归纳法
[基础达标]
1.下列命题中能用数学归纳法证明的是
A.三角形的内角和为180°
B.(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R)
C.＋＋＝(n＞0)
D.cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sin α≠0，n∈N＋)
解析 因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求，故选D.
答案 D
2.已知f(n)＝＋＋…＋，则f(k＋1)等于
A. f(k)＋
B.f(k)＋
C.f(k)＋＋＋－
D.f(k)＋－
解析 f(k)＝＋＋…＋，
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，∴f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
答案 C
3.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，从n＝k到n＝k＋1一步时，等式左边应增添的式子是________.
解析 等式左边从k到k＋1需增加的代数式可以先写出n＝k时两边，再将式子中的n用k＋1来代入，得出n＝k＋1时的等式，然后比较两式，得出需增添的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k.
答案 (3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k
4.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________.
解析 假设当n＝k时，5k－2k能被3整除，则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k
由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除.
故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除.
答案 5·(5k－2k)＋3·2k
5.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).
证明 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立.
∴n＝1时等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，就是
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时等式也成立，
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.
[能力提升]
1.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为
A.1 B.1＋a
C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3
答案 C
2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证
A.n＝1成立 B.n＝2成立
C.n＝3成立 D.n＝4成立
答案 C
3.在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是
A.an＝－1 B.an＝n－1
C.an＝－ D.an＝－
答案 D
4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上
A.k2＋1
B.(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
答案 D
5.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于
A. B.
C.＋ D.－
解析 ∵f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
答案 D
6.某个命题与自然数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得
A.n＝6时，该命题不成立
B.n＝6时，该命题成立
C.n＝4时，该命题不成立
D.n＝4时，该命题成立
答案 C
7.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立.
答案 k＋2
8.观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出的结论：________.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
9.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假设n＝k时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，应添加的辅助项为________.
答案 11·122k＋1－11·122k＋1
10.用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*).
证明 (1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除.
(2)假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1.
由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，而(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除.
故ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝k＋1时命题也成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N*原命题成立.
11.求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝n(n－3)(n∈N*，n≥4).
证明 (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，×4×(4－3)＝2，命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f(k)＝k(k－3)，现在考虑当n＝k＋1时的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面，共(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为
f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－3k＋2k－2)
＝(k－2)(k＋1)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]，
即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3].
由(1)(2)可知，命题对任意n≥4，n∈N*都成立.
12.是否存在常数a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？证明你的结论.
解析 此题可用归纳猜想证明来思考.假设存在a，b，c使题设的等式成立.令n＝1，得4＝(a＋b＋c)；当n＝2时，22＝(4a＋2b＋c)；当n＝3时，70＝9a＋3b＋c，联立得a＝3，b＝11，c＝10.
∴当n＝1，2，3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝成立.猜想等式对n∈N＋都成立，下面用数学归纳法来证明.
当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立.
记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，上面等式成立，
即有Sk＝.
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋5k＋12k＋24)＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，
∴当n＝k＋1时，等式成立.
综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对n∈N＋均成立.
课件26张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式第一课时 数学归纳法[目标导学]
1.理解数学归纳法原理.
2.能运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，掌握数学归纳法的步骤.1.归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做________.归纳法 2.数学归纳法
对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性，先证明当n取第1个值________时，命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥________)时命题成立，证明当n＝________时，命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.
运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的________，第二步是递推的________，这两步是缺一不可的.n0 n0 k＋1 基础 依据 用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可.
(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步，就获得了递推的依据.仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只完成第一步缺少第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判定命题对n0＋1，n0＋2，…，是否正确.第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，由此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对n0成立，就可以知道命题对于n0＋1也成立，进而再由第二步可知命题对于n＝(n0＋1)＋1＝n0＋2也成立，…这样递推下去，可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立.在第二步中，n＝k时命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证明.
完成一、二两步后，最后对命题做一个总的结论.思路点拨 要证明的等式左边有2n项，右边有n项，f(k)与f(k＋1)相比，左边增加二项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此，由n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并.●方法技巧
利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.1.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式.解析 (1)由题意知，S2＝4a3－20，
∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.思路点拨 证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立.●方法技巧
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出当n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.2.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.本课结束
请按ESC键返回第二课时 用数学归纳法证明不等式
[基础达标]
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证
A.n＝1 B.n＝2
C.n＝3 D.n＝4
解析 由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.
答案 C
2.对于正整数n，下列说法不正确的是
A.32≥1＋2n B.0.9n≥1－0.1n
C.0.9n＜1－0.1n D.0.1n≥1－0.9n
解析 由贝努利不等式
∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，
∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确.
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确.
答案 C
3.设p(k)：1＋＋＋…＋≤＋k(k∈N)，则p(k＋1)为
A.1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1
B.1＋＋＋…＋＋≤＋k＋1
C.1＋＋＋…＋＋＋…＋≤＋k＋1
D.上述均不正确
解析 分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.
答案 A
4.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是
A.2k－1 B.2k－1
C.2k D.2k＋1
解析 增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.
答案 C
5.试证明1＋＋＋…＋<2(n∈N*).
证明 (1)当n＝1时，不等式成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
那么n＝k＋1时，
＋<2＋
＝<＝2.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据(1)(2)可知不等式对n∈N*都成立.
[能力提升]
1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式
A.1＋＜2 B.1＋＋＜2
C.1＋＋＜3 D.1＋＋＋＜3
解析 n∈N＋，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
答案 B
2.设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出的一般结论为
A.f(2n)> B.f(n2)≥
C.f(2n)≥ D.以上都不对
解析 f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>，所以推测f(2n)≥.
答案 C
3.利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
4.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是
A.f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)
B.f(n)＝2f(n－1)(n≥2)
C.f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2)
D.f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)
答案 A
5.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到
A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析 当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，右边应为2k＋1－1.故选D.
答案 D
6.已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于
A.n B.n2
C.n3 D.－
解析 ∵(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，
∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0，
∴a2＝4，或a2＝0(舍去).
同理a3＝9，或a3＝1(舍去).∴猜想an＝n2.
答案 B
7.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________.
解析 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.
答案 21＋1≥12＋1＋2
8.用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k到k＋1时需增添的项是________.
答案 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋…＋25k＋4
9.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
解析 f(2k)＝1＋＋＋…＋，f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋，故f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
答案 ＋＋…＋
10.求证：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*).
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立.
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋
>＋
＝＋＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)(2)，知原不等式对一切n≥2且n∈N*都成立.
11.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立.
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，
左边>右边，
∴不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即
…>.
那么当n＝k＋1时，
…
>·＝
＝>
＝＝，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)、(2)知，对一切大于1的自然数n，题设不等式都成立.
12.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
解析 (1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
由此猜想an＝(n∈N*)；
(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立.
假设n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.
所以2ak＋1＝2＋ak，
所以ak＋1＝＝＝.
这表明当n＝k＋1时，结论成立.
所以an＝(n∈N*).
课件26张PPT。第二课时 用数学归纳法证明不等式[目标导学]
1.掌握用数学归纳法证明不等式，学会简单的放缩技巧.
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.1.定理1 贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，则_________________.
2.设α为实数，x>－1，便有贝努利不等式的更一般的形式：
(1)如果0<α<1，则___________________.
(2)如果α<0或者α>1，则________________，当且仅当________时等号成立.(1＋x)n>1＋nx (1＋x)α≤1＋αx (1＋x)α≥1＋αx x＝0 数学归纳法也是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难，通常考虑用数学归纳法，且要结合其他证明方法，如比较法、分析法、放缩法等.思路点拨 这是一种与正整数有关的不等式，可用数学归纳法证明.●方法技巧
用数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.思路点拨 欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以利于特殊探路——从n＝1，2，3，…寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.●方法技巧
利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，再用数学归纳法证明结论成立.本课结束
请按ESC键返回