高中数学人教A版选修4-5 第一讲　不等式和绝对值不等式（课件+练习）

课件28张PPT。本讲整合提升2.在研究不等式时，注意数形结合的思想方法，对于我们把握不等式的实质有很好的作用.
(1)绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a的点到原点的距离.利用绝对值的几何意义，可以证明和求解一些基本的含绝对值的不等式.
(2)基本不等式也有明确的几何意义.在实际中有许多重要应用，也是证明其他不等式的重要工具.从基本不等式可以推广到一般的算术—几何平均不等式，这是一类应用广泛的不等式，尤其在和为定值或积为定值的最值问题中非常有用.(3)在利用代数法解带绝对值的不等式时要特别注意去绝对值的方法.代数解法的好处是“程序化”程度高，能解的不等式种类全，坏处是往往计算和分类过于繁琐.几何解法的好处是直观、简单，坏处是对很多不等式失效.因此，一方面要提倡使用几何解法，另一方面要注意题目条件，不能盲目使用几何解法.3.高考中对解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的概念、性质有密切联系，但就其解题思想方法而言，可归纳为：“一元一次、一元二次不等式的解法是基础，等价变形是灵魂”.也就是说，所有的不等式最终都要等价变形为一元一次不等式或一元二次不等式来解.如果有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式，如果整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一元一次或一元二次不等式(组)，如不等式是无理不等式，则把它去根号等价变形为有理不等式(组)，如果是指数或对数不等式，则通过指数、对数函数的单调性，等价变形为有理不等式.特别地，高次不等式可用数轴标根法解，这个解法要比转化为一元一次或一元二次不等式(组)简单的多；解含参数的不等式时，要注意分类讨论，且分类讨论后的解集一般要分别写出.在用分段求绝对值不等式的解集时，最后一定要把各段求的解集合并.在整个解不等式的过程中，注意不等式性质的应用，做到“思维与运算”并行.总的来说在解不等式的过程中，反复体现了一个重要思想——化归思想.
专题一　不等式性质的应用
本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现.思路点拨　结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断.【答案】　D
●方法技巧
为保证解题速度，特殊值法与不等式性质应交叉运用.思路点拨　先解不等式，再按集合运算的要求求a的范围.●方法技巧
解绝对值不等式的关键转化为与之等价的不含绝对值号的不等式.专题三　基本不等式的应用
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题.思路点拨　(1)消去y利用基本不等式求最值；
(2)恰当利用a＋b＋c＝1条件，即(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2证明不等式.●方法技巧
利用基本不等式求最值问题的类型
(1)和为定值时，积有最大值.
(2)积为定值时，和有最小值.
在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.专题四　恒成立问题中求字母范围的问题
在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)a恒成立?f(x)min>a.思路点拨　首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于sin x的不等式恒成立问题.●方法技巧
该类题目形式上是探索性问题，实际上与封闭型题很接近，直接从条件出发，采用求函数最值的方法可探求出结论.(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立.因此a＋b的最小值为5.●方法技巧
若不等式对于给定区间内任意值都成立，我们称它为不等式恒成立问题，常用的解决方法有：
(1)实根分布法
涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根分类讨论去解决问题.
(2)最值法
运用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(3)更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
(4)数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题.第一讲
(本卷满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是
A.a＞b＋1　　　　　　　　 B.a＞b－1
C.a2＞b2 D.a3＞b3
解析　A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案　A
2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是
A.a＋x>b＋y B.y－aC.|a|x>|a|y D.(a－b)x>(a－b)y
答案　C
3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是
A.[－5，7] B.[－4，6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析　解法一　当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4；
当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10，
即8≥10，故x∈?；
当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6.
综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.
解法二　利用绝对值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D.
答案　D
4.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为
A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－1，0)
解析　f′(x)＝2x－2－＝，
则f′(x)＞0，也就是＞0，
得－1＜x＜0或x＞2，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＞0的解集为{x|x＞2}，故选C.
答案　C
5.若实数x，y满足＋＝1，则x2＋2y2有
A.最大值3＋2　　　　 B.最小值3＋2
C.最大值6 D.最小值6
解析　由题意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝时，等号成立，故选B.
答案　B
6.函数y＝3x＋(x>0)的最小值是
A.6　　　　 B.6　　　 C.9　　　　 D.12
解析　y＝3x＋＝＋＋≥3 ＝9.
答案　C
7.设x>0，则y＝3－3x－的最大值是
A.3 B.3－3
C.3－2 D.－1
解析　y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2.
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立.
答案　C
8.若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是
A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
解析　对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理＋≥2 ＝2，故选D.
答案　D
9.某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选
A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼
解析　设第n层总的不满意度为f(n)，
则f(n)＝n＋≥2＝6，
当且仅当n＝，即n＝3时等号成立.
答案　C
10.已知f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， f(2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是
A.{x|－22}
B.{x|x<－2，或0C.{x|x<－2，或x>2}
D.{x|－2解析　画出草图，(图略)
则当0＜x＜2或x＜－2时，f(x)＜0；
当x＞2或－2＜x＜0时，f(x)＞0.
所以x·f(x)＜0?或，
即为0＜x＜2或－2＜x＜0.
答案　D
11.若0＜x＜，则x2(1－2x)有
A.最小值 B.最大值
C.最小值 D.最大值
答案　B
12.设0A.(a－b)2 B.(a＋b)2
C.a2b2 D.a2
解析　＋＝[x＋(1－x)]
＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，
当且仅当＝时取等号.
由＋≥m恒成立，可知m≤(a＋b)2.
故m的最大值是(a＋b)2.
答案　B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________.
解析　由题意得|x＋1|≥|x－3|，
∴(x＋1)2≥(x－3)2，即8x≥8，∴x≥1.
答案　[1，＋∞)
14.已知不等式|2x－t|＋t－1＜0的解集为，则t的值为________.
解析　|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－＜x＜.∴t＝0.
答案　0
15.设x，y为实数.若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.
解析　依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·，
得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.
当且仅当2x＝y＝时，2x＋y达到最大值.
答案　
16.下面四个命题：
①若a>b，c>1，则alg c>blg c；
②若a>b，c>0，则alg c>blg c；
③若a>b，则2ca>2cb；
④若a0，则>.
其中正确命题的个数为________.
解析　①正确，∵c>1，lg c>0，∴alg c>blg c；②不正确，由于当00，∴2ca>2cb；④正确，∵a>，又c>0，∴>.
答案　3
三、解答题(共70分)
17.(10分)设不等式|x－2|(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.
解析　(1)因为∈A，且?A，所以又a∈N*，所以a＝1.
(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.
18.(12分)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.
解析　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，则a＝2.故a的值为2.
19.(12分)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解析　f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得16≤4，解得－≤x≤.
因此N＝.
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－≤.
20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
21.(12分)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，求证：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.
证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.
22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围.
解析　(1)当a＝1时，
f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).
当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1).
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.
所以，a的取值范围是[1，＋∞).
第一讲 不等式和绝对值不等式
一　不等式
第一课时　不等式的基本性质
[基础达标]
1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
A.＞　　　　　　　 B.＜
C.＞ D.＜
解析　解法一　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，所以＜，所以选项A错误，选项B正确.故选B.
解法二　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，所以＜.故选B.
答案　B
2.如果a，b，c满足cA.ab>ac B.c(b－a)>0
C.cb2解析　由条件c0，c<0，但b的正负情况不确定.
解法一　取a＝1，b＝0，c＝－1分别代入选项A，B，C，D中验证可知选项C不成立.
解法二　由题意，知c<0，a>0，则选项A一定正确；因为c<0，b－a<0，所以c(b－a)>0，所以选项B一定正确；因为ac<0，a－c>0，所以ac(a－c)<0，所以选项D一定正确，故选C(当b＝0时，不成立).
答案　C
3.已知a>b，则下列不等式：
①a2>b2；②lg(a－b)>0；③>.
其中不一定成立的个数为
A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3
解析　对于①，a2－b2＝(a－b)(a＋b)，且a－b>0，但a＋b的正负无法确定；对于②，a－b>0，但a－b与1的关系无法确定；对于③，－＝，且a－b>0，但的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.
答案　D
4.当a＞0时且a≠1时，loga(1＋a)与loga的大小关系为________.
解析　loga(1＋a)－loga
＝loga＝logaa＝1，
因此loga(1＋a)＞loga.
答案　loga(1＋a)＞loga
5.已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m和n的大小.
解析　m－n＝＋－
＝－＝＝，
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0，
∴m－n≥0即m≥n.
[能力提升]
1.若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的
A.充分而不必要条件　　　 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当0＜ab＜1时，若b＞0，则有a＜；若b＜0，则a＜0，从而有b＞.“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件.
反之，取b＝1，a＝－2，则有a＜或b＞，但ab＜0.故选A.
答案　A
2.已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值
A.一定大于0 B.一定小于0
C.等于0 D.正负都有可能
解析　x1＋x2＜0?x1＜－x2，
又∵f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上递增，
∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)＜0.
同理：f(x2)＋f(x3)＜0，
f(x1)＋f(x3)＜0.
以上三式相加得2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]＜0.
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
答案　B
3.若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的不等式有
A.1个　　　　 B.2个　　　　 C.3个　　　　 D.4个
解析　＜＜0?b＜a＜0，∴a＋b＜0＜ab，|a|＜|b|，＋＞2＝2(∵b＜a＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a＝－1，b＝－2验证得)
答案　B
4.若0A.4y<4x B.x3>y3
C.log4x解析　由04x，x3.故选C.
答案　C
5.已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　D
6.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是
A.＞ B.＞0
C.＞ D.＜0
解析　∵c＜b＜a且ac＜0，
∴a＞0，c＜0.
由b＞c，a＞0，即＞0，可得＞，故A恒成立.
∵b＜a，∴b－a＜0.
又c＜0，∴＞0，故B恒成立.
∵c＜a，∴a－c＞0.
又ac＜0，∴＜0，故D恒成立.
当b＝－2，a＝1时，b2＞a2，而c＜0，
∴＜，故C不恒成立.
答案　C
7.以下四个不等式：①a<0解析　<?<0?b－a与ab异号，依题设①②④能使b－a与ab异号.
答案　①②④
8.设a＞b，(1)ac2＞bc2；(2)2a＞2b；(3)＜；(4)a3＞b3；(5)a2＞b2中正确的结论有________.
解析　若c＝0，(1)错；若a，b异号或a，b中有一个为0，(3)(5)错.
答案　(2)(4)
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d解析　本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.
??
又由①，得a答案　a10.若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明　＋－(a＋b)＝－(a＋b)
＝.
∵a>0，b>0，
∴a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0.
∴＋≥a＋b.
11.已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
解析　由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
得－4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有
a＝，c＝.
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又∴
∴－1≤－u＋v≤20.
∴f(3)∈[－1，20].
12.已知a＞0，a≠1.
(1)比较下列各组大小
①a2＋1与a＋a；②a3＋1与a2＋a；③a5＋1与a3＋a2.
(2)探讨在m，n∈N＋条件下，am＋n＋1与am＋an的大小关系，并加以证明.
解析　(1)①a2＋1＞a＋a；②a3＋1＞a2＋a；③a5＋1＞a3＋a2.
(2)根据(1)可探讨，得am＋n＋1＞am＋an.(证明如下)
am＋n＋1－(am＋an)＝am(an－1)＋(1－an)
＝(am－1)(an－1).
当a＞1时，am＞1，an＞1，
∴(am－1)(an－1)＞0；
当0＜a＜1时，0＜am＜1，0＜an＜1，
∴(am－1)(an－1)＞0；
总之(am－1)(an－1)＞0，
即am＋n＋1＞am＋an.
课件20张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式一　不等式第一课时　不等式的基本性质[目标导学]
1.掌握不等式的基本性质．
2.学会用作差比较法比较大小.
3.学会用不等式的基本性质证明不等式.1.对于任意两个实数a、b有且只有以下三种情况之一成立：a>b?________，a0 a－b<0 a－b＝0 2.不等式的基本性质：
对称性：a>b?________；
传递性：a>b，b>c?________；
同向不等式可加性：a>b，c＞d?__________；
乘(除)：a>b，c>0?__________；
a>b，c<0?________；
乘方：a>b>0?________；(n∈N＋，且n≥2)
开方：a>b>0?________.(n∈N＋，且n≥2)bc a＋c>b＋d ac>bc acbn 1.符号“?”和“?”的含义
“?”与“?”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条件.
2.性质(3)的作用
它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.即a＋b>c?a>c－b.性质(3)是可逆的，即a>b?a＋c>b＋c.3.不等式的单向性和双向性
性质(1)和(3)是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的.
4.注意不等式成立的前提条件
不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的；可乘性中c的正负，乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N，且n≥2”都需要注意.思路点拨　解答本题可先用一特殊值代入判断A、B、C、D的大小关系，再用作差法比较.●方法技巧
用特殊值法可以猜测出A、B、C、D的大小关系，再利用作差法证明所作猜测，减少了很多运算量.这种由特殊到一般的特殊值法，克服了盲目性，提高了解题效率，是解答选择题、填空题、开放题的常用方法.1.已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小.思路点拨　求代数式的取值范围应充分利用不等式的基本性质.●方法技巧
由两个整体(如a＋b，a－b)的取值范围求第三个整体(如a－2b)的取值范围，应研究三个整体间的关系，千万不要单独求出a，b的取值范围再代入a－2b求其取值范围.2.设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.本课结束
请按ESC键返回第三课时　三个正数的算术——几何平均不等式
[基础达标]
1.若实数x、y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是
A.1　　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
解析　由x2y＝2得xy＝，
∴xy＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3＝3.
当且仅当＝x2，即x＝1时取等号.故选C.
答案　C
2.设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是
A.(－∞，lg 6] B.(－∞，3lg 2]
C.[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)
解析　∵x＋y＋z＝6，∴6≥3，
∴xyz≤8，∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.故选B.
答案　B
3.若a＞b＞0，则a＋的最小值为
A.6 B.9
C. D.
解析　a＋＝a－b＋b＋≥3＝6，
当且仅当a－b＝b＝，
即a＝4，b＝2时取等号，故选A.
答案　A
4.函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________.
解析　y2＝16sin2x·sin2x·cos2x
＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，
即tan x＝±时，取等号.
∴ymax＝.
答案　
5.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，
求证：≥9.
证明　∵a＋b＝1
∴左边＝＝1＋＋＋
＝1＋＋＋＝3＋＋＋＋
＝3＋＋＋＋
＝5＋2≥5＋2·2＝9＝右边.
当且仅当a＝b时取“＝”号.
∴≥9.
[能力提升]
1.若x>0，则4x＋的最小值是
A.9　　　 　 B.3　 　 C.13　　　　 D.不存在
解析　∵x>0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立.
答案　B
2.若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为
A.6 B.3 C.6 D.不存在
解析　∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝.
∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.
当且仅当x＝y＝时，等号成立，此时x＋2y的最小值为3.
答案　B
3.已知a，b，c为正数，则＋＋有
A.最小值3 B.最大值3
C.最小值2 D.最大值2
答案　A
4.已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则
A.x≤y≤z B.y≤x≤z
C.y≤z≤x D.z≤y≤x
答案　B
5.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
答案　B
6.已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，….启发我们可以推广为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为
A.nn B.2n C.n2 D.2n＋1
答案　A
7.已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝P，xyz＝S.给出下列命题：
①如果S是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，P的值最大；
②如果S是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，P的值最小；
③如果P是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，S的值最大；
④如果P是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，S的值最小.
其中正确的命题为________(写出序号即可).
答案　②③
8.设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________.
答案　4
9.θ为锐角，y＝sin θcos2θ的最大值是________.
答案　
10.甲、乙两人同时从A地出发走向B地，甲先用的时间以速度p行走，再用的时间以速度q行走，最后用的时间以速度r行走；乙在前的路程用速度p行走，中间的路程用速度q行走，最后的路程用速度r行走(p≠q≠r)，问甲、乙两人谁先到达B地，为什么？
解析　设A，B两地间的距离为s(s>0)，甲从A到B所用的时间为t1，乙从A到B所用的时间为t2，
由题意，得s＝p×＋q×＋r×，
∴t1＝，
t2＝÷p＋÷q＋÷r＝.
∴t2≥s＝>＝t1.
∵p≠q≠r，∴“＝”不成立.
∴t111.设正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求＋的最小值.
解析　因为正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2 ＝7，当且仅当＝，即x＋y＝，y＋z＝时，取等号.所以＋的最小值为7.
12.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明　证法一　因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，②
所以≥9(abc)－.
故a2＋b2＋c2＋
≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立.
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立.
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.
证法二　因为a，b，c均为正数，
由基本不等式得a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋
≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立。
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.
课件21张PPT。第三课时　三个正数的算术
——几何平均不等式[目标导学]
1.理解三个正数的算术——几何平均不等式.
2.能应用它求某些函数的最值问题，解决实际应用问题.≥ ≥ ≥ 思路点拨　对于x2(1－5x)，视x2与1－5x为两项，其和不可能为定值，应把x2拆为两项x、x，故x、x、(1－5x)这三项同时配系数才能使和为定值.思路点拨　先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明.●方法技巧
不等式的证明方法较多，应用平均不等式证明不等式时，关键是从式子的结构入手进行分析.●方法技巧
利用平均不等式的关键是通过变形凑出应用平均不等式的条件.本课结束
请按ESC键返回第二课时　基本不等式
[基础达标]
1.下列不等式一定成立的是
A.lg＞lg x(x＞0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
解析　应用基本不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.
答案　C
2.下列各式中，最小值等于2的是
A.＋　　　　　　　 B.
C.tan θ＋ D.2x＋2－x
解析　∵2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x≥2 ＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立.
答案　D
3.设x，y∈(0，＋∞)，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是
A.40　　　　 B.10　　　　 C.4　　　　 D.2
解析　∵x，y∈(0，＋∞)，∴≤(当且仅当x＝4y时，等号成立).∴≤＝10，∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2(当且仅当x＝4y＝20时，等号成立).
答案　D
4.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.
解析　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，
故a≥4.
答案　4
5.函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求＋的最小值.
解析　∵loga1＝0，∴函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1).
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴2m＋n＝1.∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.
∴＋＝＋
＝2＋＋2＋＝4＋＋≥4＋2＝8.
当且仅当4m2＝n2，即n＝2m时，等号成立，
此时2m＋2m＝1，∴m＝，n＝.
∴＋的最小值为8.
[能力提升]
1.设a∈R且a≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是
①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋.
A.1　　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
答案　A
2.设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则
A.x＋y≥2(＋1) B.x＋y≤2(＋1)
C.x＋y≤(＋1)2 D.x＋y≥(＋1)2
答案　A
3.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
解析　由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.
答案　D
4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
答案　C
5.下列结论正确的是
A.当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B.当x>0时，＋≥2
C.当x≥2时，x＋的最大值为2
D.当0答案　B
6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
解析　设仓库与车站的距离为x千米，
则y1＝，y2＝k2x，∴2＝，8＝k2·10，
∴k1＝20，k2＝，∴y＝＋x.
∵＋x≥2 ＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号.
答案　A
7.函数y＝(x<0)的值域是________.
解析　∵y＝＝≥＝－3，
当且仅当x＝－1时，等号成立.
又x<0，x2＋x＋1>0，∴<0.
∴函数的值域为[－3，0).
答案　[－3，0)
8.设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________.
解析　∵x，y∈R且xy≠0，
∴＝5＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当＝4x2y2
即xy＝±时，取得最小值9.
答案　9
9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
解析　设一年的总费用为y万元，
则y＝×4＋4x＝＋4x≥2 ＝2×80＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时，y最小.
答案　20
10.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，
即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得011.若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
解析　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
12.某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
解析　(1)由题意得10(1 000－x)·(1＋0.2x%)≥10×1 000，即x2－500x≤0.
因为x>0，所以0即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为
10(1 000－x)万元，
则10x≤10(1 000－x)，
所以ax－≤1 000＋2x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋x，
即a≤＋＋1恒成立.
因为x＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝500时等号成立.所以a≤5.
又a>0，所以0课件26张PPT。第二课时　基本不等式≥ ＝ 算术 几何 不小于 2.已知x，y都是正数.(1)如果积xy是定值p，那么当x________y时，和x＋y有最__________值__________；(2)如果和x＋y是定值s，那么当x__________y时，积xy有最________值________.＝ 小 ＝ 大 思路点拨　解答本题可以先使用“1”的代换，再转化使用重要不等式来证明.●方法技巧
对于含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造基本不等式的形式.在条件“a＋b＋c＝1”下，“1”的代换一般有上面两种情况，注意两次使用基本不等式，有时等号不能同时取到.思路点拨　解答本题可灵活使用“1的代换”或对条件进行必要的变形，再用基本不等式求得和的最小值.●方法技巧
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.答案　(1)C　(2)18思路点拨　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.●方法技巧
基本不等式在实际生活中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分四步：①阅读并理解材料；②建立数学模型；③讨论不等关系；④作出结论.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？本课结束
请按ESC键返回二　绝对值不等式
第一课时　绝对值三角不等式
[基础达标]
1.若实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是
A.|a|＞|b|－|c|　　　　　 B.|a|＜|b|＋|c|
C.a＞c－b D.a＜b＋a
解析　由|a|－|c|≤|a－c|＜|b|知|a|－|c|＜|b|，
即|a|＜|b|＋|c|.
答案　B
2.已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是
A.m>n B.mC.m＝n D.m≤n
解析　由绝对值不等式的性质，知
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
∴≤1≤.∴m≤n.
答案　D
3.已知a和b是任意非零实数，则的最小值为________.
解析　≥＝4.
答案　4
4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.
解析　利用绝对值不等式的性质求解.
∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
答案　－2≤a≤4
5.已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|＝，求证|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|证明　∵|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<，
∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<＋＋＝s.
∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|[能力提升]
1.对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是
A.当a、b异号时，左边等号成立
B.当a、b同号时，右边等号成立
C.当a＋b＝0时，两边等号均成立
D.当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立
答案　B
2.若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，则a的取值范围是
A.(－∞，3) B.(－∞，3]
C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]
解析　恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，即a<[|x＋1|－|x－2|]min，也就转化为求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最小值问题.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3，∴a<－3.
答案　C
3.函数y＝|x＋1|＋|2－x|的最小值是
A.3　　　　 B.2　　　　 C.1　　　　 D.0
解析　∵y＝|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，∴ymin＝3.
答案　A
4.若1＜＜，则下列结论中不正确的是
A.logab＞logba B.|logab＋logba|＞2
C.(logba)2＜1 D.|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|
答案　D
5.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则
A.ad＝bc B.adC.ad>bc D.ad与bc大小不定
答案　C
6.若关于x的不等式|x|＋|x－1|A.[－1，1] B.(－1，1)
C.(－∞，1] D.(－∞，1)
解析　∵|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，∴若关于x的不等式|x|＋|x－1|的解集为?，则a的取值范围是a≤1.
答案　C
7.设x1、x2是函数f(x)＝2 011x定义域内的两个变量，且x1＜x2，若α＝(x1＋x2)，那么下列不等式恒成立的是
A.|f(α)－f(x1)|＞|f(x2)－f(α)|
B.|f(α)－f(x1)|＜|f(x2)－f(α)|
C.|f(α)－f(x1)|＝|f(x2)－f(α)|
D.f(x1)f(x2)＞f2(α)
答案　B
8.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________.
解析　解法一　|x－1|≤1?0≤x≤2，|y－2|≤1?1≤y≤3，可得可行域如图(阴影部分).
∵|x－2y＋1|＝·.其中z＝为点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离.
当(x，y)为(0，3)时z取得最大值＝.
故|x－2y＋1|max＝5.
解法二　|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值为5.
答案　5
9.已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：
①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；
⑤|a|＜－|b|－c.
其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上).
答案　①②④
10.对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围.
解析　由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，
则|x－1|＋|x－2|小于或等于的最小值，
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，
当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2，
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解.
∵|x－1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
又数轴上的，对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为.
11.已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0，1]上，x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：
(1)f(0)＝f(1)；
(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.
证明　(1)f(0)＝c，f(1)＝c，
故f(0)＝f(1).
(2)|f(x2)－f(x1)|
＝|x－x2＋c－x＋x1－c|
＝|x2－x1||x2＋x1－1|，
∵0≤x1≤1，0≤x2≤1，0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)，
∴－1＜x1＋x2－1＜1，
∴|x2＋x1－1|＜1，
∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.
12.设x、y∈R，求证：|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥2＋1.
证明　由绝对值不等式的性质得：
|2x－x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x＋y)|
≥|2x＋2y|－|x＋y|，
∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|
≥|2x＋2y|＝2x＋2y.
又∵2x＋2y≥2＝2＋1，
∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥2＋1.
课件17张PPT。二　绝对值不等式第一课时　绝对值三角不等式[目标导学]
1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用，并注意使用时的必要技巧与方法.
2.应用类比的方法发现一般规律，注意数形结合的数学思想方法的应用.1.绝对值三角不等式______________________，当且仅当_______________________时，等号成立.
2.a，b，c∈R，那么_________________________成立，当且仅当_______________________________ ________________________________时，等号成立.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| ab＝0且|a|≥|b| |a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c| a，b，c同号或a，b，c至少有两个为
零或a，b，c一个为零，另两个同号 1.定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|取等号的条件为：
(1)前一个等号成立，即|a|－|b|≤|a＋b|，取等号的条件是ab≤0，且|a|≥|b|.
(2)后一个等号成立，即|a＋b|≤|a|＋|b|，取等号的条件是ab≥0.
2.定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边.3.此定理在向量中也适用，即|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
4.此定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|的左、中、右三部分中，右边是绝对值的和，肯定是非负的，中间是和的绝对值，仍是非负的，左边是绝对值的差，当b≠0时，肯定要抵消一部分，而且还可能是负的，这样定理中式子的大、中、小关系也就容易理解与记忆.思路点拨　利用定理，a、b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立，并应注意变式|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时，等号成立.【解析】　解法一　用特殊值法，取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2<0，则|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝1＋2＝3，||x|－|y||＝|1－2|＝1，故应选C.
解法二　由xy<0?x≠y?|x－y|>0，
∴|x＋y|>|x－y|>0?(x＋y)2>(x－y)2
?xy>0，这与已知矛盾.
∴A不成立，由此可知C成立，B、D不成立.
【答案】　C●方法技巧
这里的不等关系是对一切满足条件xy<0的任意实数x、y都成立，因此判断其不真，只要对满足条件的某个x、y指出其不真即可，这就是解法一取特殊值的出发点；解法二是通过将所给的不等关系，进行逻辑推理，作出等价变形，由此等价的不等关系来推断出原不等关系的真假.答案　B思路点拨　本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|，m≥1.●方法技巧
将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键.证明　根据条件凑x－a，y－b.
|xy－ab|＝|xy－ya＋ya－ab|＝|y(x－a)＋a(y－b)|
≤|y|·|x－a|＋|a|·|y－b|＜M·＋|a|·＝ε.思路点拨　根据待证式的特点，先计算f(x)－f(a)，再想办法因式分解出现|x－a|，利用|x－a|<1进行放缩.【证明】　|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1).●方法技巧
这里是充分利用已知条件和绝对值不等式的性质进行放缩.3.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为
A.1　　　　B.2　 C.3　　　 D.4
解析　利用三角不等式直接求解.
∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
答案　C本课结束
请按ESC键返回第二课时　绝对值不等式的解法
[基础达标]
1.不等式2<|2x＋3|≤4的解集为
A.
B.
C.
D.
解析　由2<|2x＋3|≤4得－4≤2x＋3<－2或2<2x＋3≤4，解得－≤x<－或－答案　C
2.集合{x|0<|x－1|<3，x∈Z}的真子集个数为
A.15　　　　 B.31　　　　 C.8　　　 　 D.7
解析　由0<|x－1|<3得－3又x∈Z，∴x＝－1，0，2，3，故真子集个数为24－1＝15，选A.
答案　A
3.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________.
解析　根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解.
当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)＞0，整理得－3＞0，无解.
当－＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2(x－1)＞0，整理得4x－1＞0，即x＞，∴＜x≤1.
当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)＞0，
整理得3＞0.
此时不等式的解为x＞1.
∴原不等式的解集为∪{x|x＞1}＝.
答案　
4.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.
解析　思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.
解法一　要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x＜－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x＜1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
解法二　|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
答案　{x|x≤－3或x≥2}
5.已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x)－2≤x≤1}.
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围.
解析　(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x)－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意.
当a＞0时－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
[能力提升]
1.不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是
A.{x|0≤x＜1}　　 　　 B.{x|x＜0且x≠－1}
C.{x|－1＜x＜1} D.{x|x＜1且x≠－1}
解析　解法一　原不等式等价于不等式组
①或②，
由①式得－1＜x＜1，由②式得x＜－1，
故知原不等式的解集是{x|x＜1且x≠－1}，故选D.
解法二　取x＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C从而选D.
解法三　函数y＝(1＋x)(1－|x|)的零点为－1，1，在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上y的正负号依次为正、正、负，故选D.
答案　D
2.不等式|2x2－1|≤1的解集为
A.{x|－1≤x≤1} B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|－2≤x≤0}
解析　解法一　|2x2－1|≤1?－1≤2x2－1≤1?0≤2x2≤2?0≤x2≤1?－1≤x≤1.
解法二　从选项中找特殊值2，－2代入不等式中，发现不等式不成立，所以舍去B、C、D，故选A.
答案　A
3.＞0的解集为
A.)
B.)
C.)
D.
答案　C
4.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为
A.{x|x<－1}
B.{x|x<1}
C.{x|x<1，且x≠－1}
D.{x|x>1}
解析　因为a>0，且a≠1，所以2－ax为减函数.
又y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数，
所以0所以|x＋1|<|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.
由|x＋1|<|x－3|，得(x＋1)2<(x－3)2，
即x2＋2x＋1解得x<1.又x≠－1，且x≠3，
故原不等式的解集为{x|x<1，且x≠－1}.
答案　C
5.若关于x的不等式>|2a＋1|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是
A.[－1，0] B.(－1，0)
C.(－1，1) D.[－1，1]
解析　∵≥2(x≠0)，
∴|2a＋1|＋1<2，
即|2a＋1|<1，
解得－1答案　B
6.设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，则实数t的取值范围是
A.(－1，2) B.(－3，3)
C.(2，3) D.(－1，3)
答案　B
7.不等式>3的解集是________.
答案　
8.若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________.
解析　∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.
答案　[－3，5]
9.不等式|x－1|＋|2x＋1|＞1的解集是________.
解析　原不等式等价于
或或解得x≤－或－＜x＜1或x≥1，所以x∈R.
答案　R
10.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；
当－2≤x＜时，y＝－x＋3＞；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为.
答案　
11.设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
解析　(1)由于f(x)＝
则函数y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥或a＜－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点，故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
12.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解析　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，
f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
课件27张PPT。第二课时　绝对值不等式的解法[目标导学]
1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
2.适当控制教学难度，不宜过多推广其他类型不等式的解法.1.a＞0时，|x|＜a?________，
|x|＞a?_____________.
2.c＞0时，|ax＋b|≤c?______________，
|ax＋b|≥c?__________________________.－aa －c≤ax＋b≤c ax＋b≥c或ax＋b≤－c 3.一般地说，解含绝对值不等式的基本思想是 ____________，就是采用正确的方法，化去绝对值符号，方法有公式法(同解原理法：如|f(x)|等价转化 4.运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值里的代数式________，并求出相应的根(又叫零点)；
(2)把这些根由___________，把不等式的存在域(未知数的取值范围)分成若干段；为零 小到大排序 (3)在每一段上去掉______________组成若干个不等式(组)，解这些不等式(组)，求出交集；
(4)取这些不等式(组)的解集的________就是原不等式的解集.
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简捷与表达的明晰.区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括在内.绝对值符号 并集 1.不等式|x|≤a(a>0)的解集是{x|－a≤x≤a}，即 [－a，a].
不等式|x|≥a(a>0)的解集为{x|x≥a或x≤－a}，即 (－∞，－a]∪[a，＋∞)，这里应注意集合运算符号“∪”与逻辑联结词“或”的关系和意义.
对于这个结论，仍应根据绝对值的几何意义，结合数轴进行理解，即|x|≤a(a>0)表示和原点距离不大于a的点的全体，即位于数轴上的点－a与a之间(包括－a与a)的点的全体，即[－a，a].而|x|≥a表示数轴上和原点距离不小于a的点的全体，即数轴上位于－a左侧(包括－a)及a右侧(包括a)的点的全体，即(－∞，－a]∪[a，＋∞).2.当a<0时，|x|≤a的解集为?，|x|≥a的解集为R.可以用具体例子来说明，例如|x|≤－1的解集为?，|x|≥－1的解集为R.
3.|ax＋b|c(c>0)型的不等式，在具体求解时，可以直接在|x|a(a>0)型不等式上进行替换，这时原不等式化成了一元一次不等式(或组)，然后就可以根据不等式的基本性质求解了.6.因为|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|，所以当c<|a－b|时，不等式|x－a|＋|x－b|c时，不等式|x－a|＋|x－b|>c的解集为全体实数.事实上，对于一切x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|>c.思路点拨　在|ax＋b|c(c>0)型的不等式中，如果a是负数，为了方便，可以先把a化成正数，并写成标准形式后再求解.
【解析】　∵|8－x|＝|x－8|，∴原不等式即为|x－8|≥3.化简，得x－8≥3，或x－8≤－3.解得x≥11，或x≤5.∴原不等式的解集是{x|x≥11，或x≤5}.●方法技巧
(1)形如|ax＋b|≤c或|ax＋b|>c(c>0)的求解，一般采用换元法，将其化为|t|≤c，或|t|>c(其中t＝ax＋b)，再求解.注意，为避免出错，通常将x的系数a化为正数.
(2)|ax＋b|c(c>0)型不等式比较：1.解不等式x＋|2x＋3|≥2.思路点拨　这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论.【解析】　解法一　由代数式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x<－3，－3≤x<3，x≥3.
当x<－3时，－x－3－x＋3>8，即x<－4，
此时不等式的解为x<－4；①
当－3≤x<3时，x＋3－x＋3>8，此时无解.②
当x≥3时，x＋3＋x－3>8，即x>4，
此时不等式的解为x>4.③
综合①、②、③得原不等式的解集为
{x|x<－4或x>4}.●方法技巧
解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
①令两个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.●方法技巧
对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|A.(－∞，4)　　　 B.(－∞，1)
C.(1，4) D.(1，5)
解析　①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4.
③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解.
综合①②③知x<4.
答案　A思路点拨　解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围.解法二　由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，即m＜1.
(2)若不等式解集为R，即m＜－1.
(3)若不等式解集为?，即m≥1.●方法技巧
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，都属于恒成立问题，问题(2)、(3)则属于恒成立问题.要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.本课结束
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