课件20张PPT。本讲整合提升专题一 利用排序不等式证明不等式
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.思路点拨 可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.●方法技巧
利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.
(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.思路点拨 注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简.专题三 利用不等式解决最值问题
利用不等式去解决最值(尤其是含多个变量)问题，这是一种常用方法.特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足.●方法技巧
利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或变量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略.专题四 柯西不等式、排序不等式的实际应用
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式、排序不等式解决有关的实际问题，关键是从实际情景中构造两类不等式的模型.第三讲
(本卷满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.设a>0，b>0，则以下不等式中，不恒成立的是
A.(a＋b)≥4 B.a3＋b3≥2ab2
C.a2＋b2＋2≥2a＋2b D.≥－
答案 B
2.已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是
A.[0，] B.[－，0]
C.[－，] D.[－5，5]
解析 |3x＋2y|≤·≤.
所以－≤3x＋2y≤.
答案 C
3.已知a，b，c是正实数，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是
A.a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2a
B.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a
C.a3＋b3＋c3
D.a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a
解析 设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式，顺序和≥乱序和，有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.
答案 B
4.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝，y2＝，则y1与y2的大小关系为
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1＝y2 D.不能确定
答案 D
5.设m，n为正整数，m>1，n>1，且log3m·log3n≥4，则m＋n的最小值是
A.15 B.16 C.17 D.18
答案 D
6.已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为
A.1 B.2 C. D.8
解析 不妨设x≥y≥z>0，则≥≥>0，且x2≥y2≥z2>0，
由排序不等式，得＋＋≥·z2＋·y2＋·x2＝x＋y＋z.
又x＋y＋z＝1，所以＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立.
答案 A
7.已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为
A.2a2＋b2 B.2ab
C.(2a＋b)2 D.4ab
解析 ＋＝(sin2α＋cos2α)·≥＝(2a＋b)2，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立.
故＋的最小值为(2a＋b)2.
答案 C
8.设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是
A. B. C.2 D.
答案 B
9.设实数x1，x2，…，xn的算术平均值是x，a≠x(a∈R)，并记p＝(x1－x)2＋…＋(xn－x)2，q＝(x1－a)2＋…＋(xn－a)2，则p与q的大小关系是
A.p>q B.p答案 B
10.设x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为
A. B. C. D.
答案 C
11.已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是
A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M解析 取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和.
而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，M>N.
答案 B
12.设P为△ABC内一点，D，E，F分别为P到BC，CA，AB所引垂线的垂足，如图.若△ABC的周长为l，面积为S，则＋＋的最小值为
A. B. C. D.
解析 设AB＝a1，AC＝a2，BC＝a3，PF＝b1，PE＝b2，PD＝b3，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝2S.
∵(a3b3＋a2b2＋a1b1)
≥
＝(a3＋a2＋a1)2＝l2，
∴＋＋≥，当且仅当b1＝b2＝b3，即PE＝PF＝PD时，等号成立.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.
解析 (am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立).
答案 2
14.已知x，y，z为正数，且xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)(y＋z)的最小值为________.
答案 2
15.若a>b>0，则a＋的最小值为________.
答案 3
16.边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________.
解析 三角形的面积S＝＝＝，即abc＝1，所以t＝ab＋bc＋ca，
t2＝(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2＝s2，
又a，b，c>0，所以s≤t.
答案 s≤t
三、解答题(共70分)
17.(10分)已知x＋y＋z＝1，求2x2＋3y2＋z2的最小值.
解析 利用柯西不等式
由(2x2＋3y2＋z2)≥(x＋y＋z)2，
得2x2＋3y2＋z2≥＝，
所以，2x2＋3y2＋z2的最小值为.
18.(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证p2＋q2＋r2≥3.
解析 (1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3(当且仅当p＝q＝r＝1时，等号成立).
19.(12分)设f(x)＝lg，
若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x).
证明 ∵f(2x)＝lg，
∴要证f(2x)≥2f(x)，
只要证lg
≥2lg，
即证
≥
也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，(*)
∵0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得
n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥(12＋12＋…＋12,sdo4(n个))){(1x)2＋(2x)2＋…＋[(n－1)x]2＋(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
即(*)式显然成立，故原不等式成立.
20.(12分)设x1，x2，…，xn∈R＋，求证：
＋＋…＋＋≥x1＋x2＋…＋xn.
证明 ∵x1，x2，…，xn>0，故由柯西不等式，得
(x2＋x3＋…＋xn＋x1)≥
＝(x1＋x2＋…＋xn－1＋xn)2.
∴＋＋…＋＋≥x1＋x2＋…＋xn.
21.(12分)设a、b、c∈R＋，且满足abc＝1，试证明：
＋＋≥.
证明 ∵abc＝1，∴原式即为
＋＋≥.
又(ab＋bc＋ca)2
＝
≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，
∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)
≥·3＝.
∴原不等式得证.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.
解析 (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1).
所以＝(－x，－1－y)，
＝(0，－3－y)，＝(x，－2).
再由题意可知(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，
因为y′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝.
又y0＝x－2，所以d＝
＝≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第一课时 二维形式的柯西不等式
[基础达标]
1.设a＝(－2，1，2)，|b|＝6，则a·b的最小值为
A.18 B.6
C.－18 D.12
解析 ∵|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18，∴－18≤a·b≤18，
a·b的最小值为－18，故选C.
答案 C
2.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是
A. B. C. D.
解析 2x2＋3y2＝[(x)2＋(y)2][()2＋()2]×≥(x＋y)2＝(x＋y)2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立.
答案 B
3.函数y＝＋2的最大值是
A. B. C.3 D.5
解析 根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，
当且仅当＝2，即x＝时，等号成立.
答案 B
4.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.
解析 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
答案
5.设a、b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.
证明 根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]·
＝[()2＋()2]
≥
＝(a＋b)2＝4，
∴＋≥＝2，
当且仅当·＝·，
即a＝b＝1时等号成立.
∴原不等式成立.
[能力提升]
1.已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 C
2.已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是
A. B.2
C. D.3
解析 2x＋y≤＝，故选C.
答案 C
3.已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为
A.2 B.8
C. D.4
答案 A
4.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P、Q间的大小关系为
A.P＜Q B.P≤Q
C.P＞Q D.P≥Q
答案 B
5.如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为
A. B.
C. D.
解析 由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝，x＝y＝时，mx＋ny＝.
答案 B
6.已知a、b、c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是
A.(a＋b＋c)2≥3 B.a2＋b2＋c2≥2
C.＋＋≤2 D.a＋b＋c≤
答案 A
7.函数y＝3＋4的最大值为________.
解析 ∵y2＝(3＋4)2
≤(32＋42)[()2＋()2]
＝25(x－5＋6－x)＝25，
当且仅当3＝4，
即x＝时等号成立.∴函数y的最大值为5.
答案 5
8.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.
解析 根据二维形式的柯西不等式的代数形式知
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
可得(am＋bn)(bm＋an)＝(am＋bn)(an＋bm)≥(·＋·)2＝mn(a＋b)2＝2×1＝2，当且仅当＝，即m＝n＝时，取得最小值2.
答案 2
9.函数y＝＋的最大值为________.
解析 ∵y＝＋，
∴y＝1×＋×
≤＝
.
答案
10.已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.
求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.
证明 设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|
＝·
＝·＝，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.
11.已知关于x的不等式|x＋a|(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值.
解析 (1)由|x＋a|则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋＝＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
12.已知α、β∈(0，π)，且cos α＋cos β－cos(α＋β)＝，试求α、β的值.
解析 已知等式可化为
sin β·sin α＋(1－cos β)cos α＝－cos β.①
将①式平方得
＝[sin β·sin α＋(1－cos β)cos α]2
≤[sin2β＋(1－cos β)2](sin2α＋cos2α)
＝2(1－cos β)，
∴－2(1－cos β)≤0.
∴≤0，∴cos β＝.
∵β∈(0，π)，∴β＝，代入已知得α＝.
∴α＝β＝.
课件20张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式第一课时 二维形式的柯西不等式[目标导学]
1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式，向量形式和三角形式.
2.掌握柯西不等式各种形式之间的关系，理解它们的几何意义.1.柯西不等式的代数形式：设__________________，
则_____________________________________；
当且仅当________________________________.a1，a2，b1，b2均为实数 a1b2＝a2b1时等号成立 2.柯西不等式的向量形式：设__________________，
则________________，
当且仅当__________________________________，___________.
3.柯西不等式的三角形式：设__________________，
那么_______________________________________，
当且仅当___________________________.α，β是两个向量 |α·β|≤|α||β| β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时 等号成立 x1，y1，x2，y2∈R x1y2＝x2y1时，等号成立 3.由教科书图3.1－1立即可推出
|α|＋|β|≥|α＋β|.
其中α，β为起点在原点的平面向量，当α，β为非零向量时等号成立当且仅当α和β夹角为零.
如记α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，则α＋β＝(a1＋a2，b1＋b2)，特别当a2＝b2＝0时，即为关于绝对值的三角不等式|a1|＋|b1|≥|a1＋b1|.思路点拨 本题解法很多，如换元法、整体代入法等，在此我们用柯西不等式处理.●方法技巧
运用柯西不等式求最值的关键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进行探索.1.若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点.●方法技巧
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字1的增补：a＝1·a)变形等.思路点拨 首先将不等式左边看作两个向量的数量积，然后利用柯西不等式的向量形式进行证明.●方法技巧
无论用柯西不等式还是其他不等式，构造所需要的某种结构是证明的难点，因此要熟记各公式的结构特点，能灵活变形，才能灵活应用.本课结束
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[基础达标]
1.设x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是
A.28 B.31 C.35 D.36
解析 反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.故选C.
答案 C
2.已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)
A.大于零 B.大于或等于零
C.小于零 D.小于或等于零
解析 设a≥b≥c>0，则a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案 B
3.有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s，4 s，3 s，7 s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.
解析 由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.
答案 41
4.已知a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
证明 不妨设a≤b≤c，则由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
上式两边同乘2再加a2＋b2＋c2，
得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
即a2＋b2＋c2≥＝，命题得证.
5.已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且>，x>y，求证：>.
证明 ∵>>0，∴b>a>0.又x>y>0，由排序不等式得bx>ay.
又－＝>0，∴>.
[能力提升]
1.设a，b∈R＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q间的大小关系是
A.P＞Q B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q
答案 B
2.已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P、Q间的大小关系是
A.P＞Q B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q
答案 B
3.若0A.a1b1＋a2b2 B.a1a2＋b1b2
C.a1b2＋a2b1 D.
解析 ∵0由0a1b2＋a2b1.
1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，∴a1b1＋a2b2>，故选A.
答案 A
4.设x，y，z∈(0，＋∞)，则＋＋的最小值为
A.0 B.1 C.4 D.9
解析 不妨设0即＋＋≥0.
答案 A
5.(1＋1)··…··…·的取值范围是
A.(21，＋∞) B.(61，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(3n－2，＋∞)
答案 C
6.已知a1，a2，a3为正整数，则a1＋＋的最小值为
A.3 B. C. D.
答案 D
7.设正实数a1，a2，…，an的任一排列为a1′，a2′，…，an′，则＋＋…＋的最小值为________.
答案 n
8.设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N之间的大小关系为________.
答案 M≥N
9.设a，b，c为正数，则＋＋的最小值为________.
答案
10.设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.
证明 不妨设a1≥a2≥a3>0，
∴≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式，得＋＋
≥×a2a3＋×a3a1＋×a1a2＝a3＋a1＋a2，
即＋＋≥a1＋a2＋a3.
11.设a，b，c∈R＋，求证：
a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.
证明 不妨设a≥b≥c>0，于是a2≥b2≥c2，≥≥，应用排序不等式，得
a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.
以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.
再考虑数组a3≥b3≥c3>0及≥≥，
仿上可证第二个不等式.
12.设a，b，c∈(0，＋∞)，求证：＋＋≤.
证明 设a≥b≥c>0.
由不等式的性质，知
≥≥.而≥≥，
由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.
根据排序原理，知
＋＋≥＋＋＝＋＋.
由不等式的性质，知
a2≥b2≥c2，≥≥.
由排序原理，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.
由不等式的传递性，知
＋＋≤＋＋＝.
故原不等式成立.
课件20张PPT。第三课时 排序不等式[目标导学]
1.了解排序不等式的背景和意义，理解排序原理的实质.
2.会构造恰当的序列，利用排序不等式解决有关问题，掌握一些简单应用.1.设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，___________________________________称为顺序和，___________________________________称为乱序和，___________________________________称为反序和，其大小关系为_________________________.a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1 反序和≤乱序和≤顺序和 2.排序原理：设_____________________________，
那么________________________________________，
当且仅当__________________________________时，
_______________________.a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn
为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，
b2，…，bn的任一排列 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn
≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn 反序和等于顺序和 2.排序不等式的另一证明.
定理(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
等号成立当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.思路点拨 利用顺序和≥乱序和≥反序和，便可求出其最大值和最小值.●方法技巧
利用排序原理求最值的方法技巧
求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.解析 (1)由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.答案 (1)32 28 (2)1思路点拨 构造出数组，利用排序原理证明.●方法技巧
利用排序不等式证明不等式的策略
(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和.利用排序不等式证明即可.
(2)在排序不等式的条件中，需要限定各数值的大小关系，如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来，进而用不等关系来解题.答案 (1)C (2)略本课结束
请按ESC键返回第二课时 一般形式的柯西不等式
[基础达标]
1.若实数a、b、c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为
A.3 B.1 C. D.
解析 ∵3(a2＋b2＋c2)＝(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1·a＋1·b＋1·c)2＝(a＋b＋c)2＝9，
∴a2＋b2＋c2≥3，∴≥，故选D.
答案 D
2.设a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是
A.1 B. C.3 D.9
解析 由柯西不等式，得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，
则(＋＋)2≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.
故＋＋的最大值为.
答案 B
3.已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为
A.24 B.30 C.36 D.48
解析 (x＋y＋z)
≥＝36
，故＋＋≥36.
答案 C
4.设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________.
解析 (a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·
≥＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当＝＝时等号成立.
答案 121
5.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解析 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x)－m≤x≤m}.
又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.
(2)证明 由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.
∴原不等式得证.
[能力提升]
1.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为
A.1 B.4
C. D.
答案 C
2.设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q间的大小关系为
A.P＞Q B.P≥Q
C.P＜Q D.不确定
答案 B
3.已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由柯西不等式，得
(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，所以－3≤x＋2y＋2z≤3.
当且仅当x＝＝时，右边等号成立.
所以x＋2y＋2z的最大值为3.
答案 C
4.若a，b，c为正数，则·的最小值为
A.1 B.－1 C.3 D.9
答案 D
5.已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是
A. B. C.6 D.3
解析 由柯西不等式，得
(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]
≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，
即x2＋y2＋(1－x－y)2≥，
当且仅当x＝y＝1－x－y，即x＝y＝时，x2＋y2＋(1－x－y)2取得最小值.
答案 B
6.设m，n，p为正实数，且m2＋n2－p2＝0，则的最小值为
A.0 B.3 C.1 D.
答案 D
7.设a，b，c，d均为正实数，P＝(a＋b＋c＋d)·，则P的最小值为________.
答案 16
8.已知a，b，c是正实数，且ab＋bc＋ac＝1，则abc的最大值为________.
解析 因为a，b，c是正实数，且ab＋bc＋ac＝1，
所以＝≥，
所以(abc)2≤，所以abc≤，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，
即abc的最大值为.
答案
9.设x＋y＋z＝19，则函数u＝＋＋的最小值为________.
答案
10.设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵(a＋b＋c)
＝·[()2＋()2＋()2]
≥＝(a＋b＋c)2，
即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
又a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c＞0，
∴＋＋≥a＋b＋c.
11.设a，b，c为正数，求证：
＋＋≥(a＋b＋c).
证明 由柯西不等式得
·≥a＋b，
即·≥a＋b.
同理·≥b＋c.·≥c＋a.
将以上三个不等式同向相加得
(＋ ＋ )≥2(a＋b＋c).
∴＋＋≥(a＋b＋c).
12.已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值.
解析 (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值为.
课件26张PPT。第二课时 一般形式的柯西不等式[目标导学]
1.认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义.
2.能利用柯西不等式的一般形式解决有关问题.1.三维形式的柯西不等式______________________________________，当且仅当__________________________________________________使得_______________.bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k使ai＝kbi(i＝1，2，3)时 等号成立 2.一般形式的柯西不等式
设__________________________________________，
则__________________________________________
___________________________________________，
当且仅当___________________________________ ______________________________________________时，使得__________________________.
ai，bi∈R(i＝1，2，…，n) bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，
使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n) 等号成立 1.二维柯西不等式的再认识.
二维柯西不等式
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).①
与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质地把握不等式，并更自觉地应用它.
(1)全量不小于部分.由恒等式
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2.②
立即得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(5)二次函数的判别式，由
f(x)＝(ax－c)2＋(bx－d)2≥0，
可得其判别式不大于0，
Δ＝4(ac＋bd)2－4(a2＋b2)(c2＋d2)≤0，变形即得①.●方法技巧
通过以上题目可以看出，无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.1.已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解析 (1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)证明 由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.思路点拨 将已知等式变形，直接应用柯西不等式.●方法技巧
利用柯西不等式求最值的方法技巧
利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件.思路点拨 可以将问题看成求方程组的解的问题.【解析】 将两方程左右两边分别相加，变形得
(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2＝108，
由第一个方程变形，得2x＋(3y＋3)＋(z＋2)＝18，
于是由柯西不等式，得
182＝[1×(2x)＋1×(3y＋3)＋1×(z＋2)]2
≤(12＋12＋12)×[(2x)2＋(3y＋3)2＋(z＋2)2]＝182.
由不等式中等号成立的条件可知：
2x＝3y＋3＝z＋2＝6，
故原方程的解为x＝3，y＝1，z＝4.●方法技巧
本题中两个方程含有三个未知数，不可能用一般方法求解，我们利用柯西不等式，将不等式中的等号成立时转化为方程，从而使问题得到解决.本课结束
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