2-1
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．下列不是离散型随机变量的是
①某机场候车室中一天的游客量为X；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；
③某水文站观察到一天中长江的水位为X；
④某立交桥一天经过的车辆数为X.
A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X
解析 ①②④中随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量．
答案 C
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝
A．0 B. C. D.
解析 设失败率为p，则成功率为2p，应有：p＋2p＝1，所以p＝，即P(X＝0)＝.
答案 C
3．随机变量X的分布列如下，则m等于
X
1
2
3
4
P
m
A. B. C. D.
解析 由分布列性质得＋m＋＋＝1，所以m＝.
答案 D
4．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．设ξ表示抽取的3名工人中男工人数，则ξ的所有取值分别为
A．1，2，3 B．0，1，2
C．0，1，2，3 D．0，1，2，3，4
解析 确定ξ的所有可能，理解ξ取各个值的意义，ξ的可能取值为0，1，2，3.
答案 C
5．把10个正方体玩具全部投出，设出现6点的正方体玩具个数为ξ，则P(ξ≤2)等于
A．C×
B．C×＋
C．C＋＋C×
D．以上都不对
解析 P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝C×＋C×＋.
答案 D
6．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是
A．P(0
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
解析 本题相当于求最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球的概率．
答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是________．
解析 抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而X表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点．
答案 一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析 设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3 ，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝＋＝.
答案
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
若P(ξ2解析 由P(ξ29时，由ξ为整数ξ取值可为3，与已知矛盾，故4答案 4三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
解析 (1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P
答案 (1)
(2)
X
2
3
P
11. （12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数X的分布列；
(2)乙所得分数Y的分布列．
解析 (1)X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以甲答对试题数X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)乙答对试题数可能为1，2，3，所以乙所得分数Y＝5，10，15.
P(Y＝5)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝15)＝＝＝.
所以乙所得分数Y的分布列为
Y
5
10
15
P
答案 (1)
X
0
1
2
3
P
(2)
Y
5
10
15
P
12. （13分）为了参加2019年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源及人数如下表：
班级
高三(7)班
高三(17)班
高二(31)班
高二(32)班
人数
4
2
3
3
(1)从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；
(2)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三(7)班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解析 (1)“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A，则P(A)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
答案 (1)
(2)
ξ
0
1
2
P
课件58张PPT。第二章 随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其分布列
[课标解读]
1．了解随机变量的意义，理解离散型随机变量的概念，并能举出离散型随机变量的例子．
2．会求某些简单的离散型随机变量的概率分布列．(重点)
3．掌握离散型随机变量的分布列的两条性质．
4．理解两点分布、超几何分布、并能进行简单应用．(难点)1．随机变量
(1)定义：在一个对应关系下，随着___________变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母__________等表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都可以_________
______，则称X为离散型随机变量．
基础知识整合试验结果X，Y，Z一一列举出来3．离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，x3，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
则称上表为离散型随机变量X的____________，简称为X的分布列．
概率分布列(2)表示：离散型随机变量可以用_____、______、解析式表示．
(3)性质：①_______________________________；
② ．
表格图象pi≥0，i＝1，2，3，…，n4．两个特殊分布
(1)两点分布：随机变量X的分布列是：
其中0两点分布成功概率(2)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝__________，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
知识点一 离散型随机变量
“嫦娥三号”已于2013年12月2日1时30分由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射．它携带中国的第一艘月球车，并实现了中国首次月面软着陆．
探究：阅读离散型随机变量的概念，结合上面材料回答下面几个问题，并明确离散型随机变量的特点．
(1)“嫦娥三号”卫星的使用寿命是否为离散型随机变量？核心要点探究提示 “嫦娥三号”卫星的使用寿命是一个非负实数，而所有非负实数是不能一一列出的，故“嫦娥三号”卫星的使用寿命不是离散型随机变量．
(2)若我们从“嫦娥三号”卫星的使用寿命能否大于某一个数值入手恰当地定义随机变量，能否使之成为离散型随机变量？
知识点二 离散型随机变量的分布列
探究1：观察上述表格，回答下面几个问题，明确离散型随机变量分布列的特点．
(1)表格中的x1，x2，…，xn及p1，p2，…，pn分别表示什么含义？X取值为x1，x2，…，xn时所对应的事件是否互斥？
提示 表格中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.由随机变量的概念知随机变量X取值x1，x2，…，xn是不能同时发生的，故随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的．(2)若一个离散型随机变量X的取值共有(n＋1)个，那么上述表格能否表示为这一随机变量的分布列？
提示 因为随机变量的分布列应能反映出随机变量的所有取值，及每一个取值所对应的概率值．若随机变量X的取值共有n＋1个，则表格中的第一行应反映出X的(n＋1)个取值而上述表格只体现n个取值，故不能表示这一随机变量的分布列．(3)如何用表格的形式表示离散型随机变量的分布列？
提示 若要用表格的形式表示离散型随机变量的分布列，首先需确定X的取值，注意不要遗漏，再计算X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，最后用表格的方法表示随机变量的分布列．
探究2：观察表格中第二行各概率值的特点，完成下面几个问题，理解分布列的性质．
(1)表格中p1，p2，…，pn的取值范围分别是多少？
提示 由概率的意义知p1，p2，…，pn的取值范围为[0，1]，即0≤pi≤1，i＝1，2，…，n.
(2)表格中p1＋p2＋…＋pn的值为多少？
提示 因为随机变量X取值为x1，x2，…，xn在选取时必有一个发生，且每个事件间都是相互互斥的，所以有p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点三 特殊分布
探究1：观察下面分布列，通过下面几个问题，理解两点分布的特点.
(1)表中随机变量X的取值有几个，分别是什么？
提示 随机变量X的取值有2个，分别是0，1.
(2)若用解析式表示表格所对应分布列，如何表示？
提示 式子可以表示为P(X＝i)＝pi(其中i＝0，1，p1＋p2＝1)．探究2：观察下面的分布列，思考下面的问题.
提示 表格中的m，n，M，N的限制条件为m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
提示 该公式可描述为在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品．
不难看出，此类抽取是无放回抽取，其中抽取的对象中要有两类物品．
写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含黑球的个数ξ是一个随机变量．
题型一 离散型随机变量例1【自主解答】 (1)随机变量X可能的取值为：0，1，2，3，4.
{X＝0}，表示抽出0件次品；
{X＝1}，表示抽出1件次品；
{X＝2}，表示抽出2件次品；
{X＝3}，表示抽出3件次品；
{X＝4}，表示抽出的全是次品．
(2)随机变量ξ可能的取值为：0，1，2，3.
{ξ＝0}，表示取出0个黑球，3个白球；
{ξ＝1}，表示取出1个黑球，2个白球；
{ξ＝2}，表示取出2个黑球，1个白球；
{ξ＝3}，表示取出3个黑球，0个白球．●规律总结
这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．
1．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量？◎变式训练解析 (1)列表如下：
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为6，11，16，21.显然，η为离散型随机变量．
答案 略
(1)将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是__________________________________．
(2)从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
题型二 离散型随机变量的分布列例2●规律总结
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率；(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
2．放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．◎变式训练题型三 离散型随机变量分布列的性质例3◎变式训练题型四 超几何分布的应用例4【答案】 (1)C (2)见自主解答(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析法表示．
?
4．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
◎变式训练答案 见解析 (12分)口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机抽取3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
◎典题示例规范解答(四) 求离散型随机变量的分布列典例设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列．
◎典题试解本讲结束
请按ESC键返回综合训练·能力提升