2-2-2
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是
A．A与 B．A与 C.与B D.与
解析 事件A与为互斥事件且为对立事件，故选项A不是相互独立事件．
答案 A
2．甲，乙，丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是
A．p1＋p2＋p3 B．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)
C．1－p1p2p3 D．p1p2p3
解析 至少有一人解决这道题的反面是“没有人解决这道题”也即“三人均没有解出此题”，此概率为(1－p1)(1－p2)(1－p3)，∴至少有一人解决这道题的概率是1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)．
答案 B
3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是
A. B. C. D.
解析 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案 C
4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A. B. C. D.
解析 设Ai(i＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．
解法一 B＝A1＋1A2，故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝.
解法二 P(B)＝1－P(12)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝.
答案 D
5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为
A. B. C. D.
解析 设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P((AB)∪())＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
答案 C
6．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是
A. B. C. D.
解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以
P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析 因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案 0.65 0.3
8．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________．
解析 记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件，
由题意可知
得
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
答案 0.2 0.25 0.5
9．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
解析 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
答案 0.902
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，.所有考试是否合格相互之间没有影响．
问：甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
解析 记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，记i为Ai的对立事件，i＝1，2，3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，
则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝，有P(B)>P(C)>P(A)，
故乙获得合格证书的可能性最大．
答案 乙获得合格证书的可能性最大
11．（12分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品且均互不影响．
已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.
(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
(2)求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率．
解析 设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，则P(B)＝，
(1)由题知P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝，即P2(A)×＝，所以P2(A)＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
(2)①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率为P1＝××＝.
②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为P2＝2××××＝.
由①②得所求概率为P＝P1＋P2＝.
答案 (1) (2)
12．（13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70，76)
[76，82)
[82，88)
[88，94)
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
(1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
(2)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列．
解析 (1)元件A为正品的概率约为＝.
元件B为正品的概率约为＝.
(2)随机变量X的所有取值为90，45，30，－15.
P(X＝90)＝×＝，
P(X＝45)＝×＝，
P(X＝30)＝×＝，
P(X＝－15)＝×＝.
所以，随机变量X的分布列为：
X
90
45
30
－15
P
答案 (1)
(2)
X
90
45
30
－15
P
课件34张PPT。§2.2.2 事件的相互独立性
[课标解读]
1．理解两个事件为相互独立事件的概念，并能判断两个事件是否为相互独立的事件．(重点)
2．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别．
3．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能应用公式计算相关的题目．(重点，难点)
基础知识整合P(A)·P(B)知识点 事件的相互独立性
探究1：结合下面的引例，回答下面几个问题，形成事件的相互独立性的概念．
引例：盒中有a个黑球，b个白球，每次取一个有放回地取两次，设A＝{第一次摸得黑球}，B＝{第二次摸得黑球}．(ab≠0)核心要点探究(1)事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示 不影响．由于是有放回地摸取，第一次取得黑球与第二次取得黑球两事件是否发生之间没有影响．
(2)分别求P(A)，P(B)，P(AB)，P(B|A)的值，并比较P(B|A)与P(B)是否相等？P(AB)与P(A)×P(B)相等吗？
探究2：结合下面几个问题，进一步理解相互独立事件的特点．
(1)结合探究1分析出两个事件相互独立时满足的概率关系式．
提示 易观察得若两个事件相互独立，则有P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)在什么条件下P(B|A)＝P(B)成立？
提示 若事件A，B是相互独立事件，则有P(B|A)＝P(B)．
(3)若两事件相互独立是否就说明这两个事件间没有任何关系？
提示 两事件A，B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系，并不是说事件A，B间没有关系．相反，若事件A，B相互独立，则常有事件AB≠?，即事件A，B不互斥．
判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
题型一 相互独立事件的判断例11．下列事件中A，B是相互独立事件的是
A．一枚硬币掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”
D．事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”
◎变式训练解析 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
答案 A题型二 相互独立事件的概率例2(2)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
①求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
②求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
【答案】 (1)C (2)①0.3 ②0.3它们之间的概率关系如表所示：
2．(2018·北京)(节选)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
◎变式训练(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．
答案 (1)0.025 (2)0.35题型三 相互独立事件概率的实际应用例3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值；
②若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)
3．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开头能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
解析 如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C.
◎变式训练答案 0.973 甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格．则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________．
◎典题示例易错误区(七) 对事件类型判断不准导致错误典例3．明确求解问题的思路
一是直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率；二是间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．如本例中求“至少一人”的问题，采用其对立事件求解更加方便．
◎典题试解本讲结束
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