2-3-1
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
2
P
则ξ的均值为
A．0 B．－1 C. D.
解析 E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.
答案 D
2．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为
A．2×0.44 B．2×0.45 C．3×0.44 D．3×0.64
解析 因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案 C
3．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是
A．20 B．25 C．30 D．40
解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案 B
4．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于
A. B. C. D.
解析 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
答案 D
5．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4
解析 由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8，①
又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，
所以a＋2b＝1.3，②
②－①得b＝0.5，所以a＝0.3，
所以a－b＝0.3－0.5＝－0.2.
答案 C
6．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据节前的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A.706元 B．690元 C．754元 D．720元
解析 节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706.故期望利润为706元．
答案 A
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为：
ξ
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
η
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析 甲、乙一天生产中出现废品数的均值分别为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(ξ)>E(η)，故乙的技术较好．
答案 乙
8．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)＝________．
解析 每一次摸得红球的概率为＝，由X～B，则E(X)＝4×＝.
答案
9．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
X
1
2
3
P(ξ＝X)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．
解析 设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1.所以E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
答案 2
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案 (1)
(2)
X
1
2
3
P
11．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
EX＝200×＋300×＋400×＝350.
答案 (1)
(2)
X
200
300
400
P
350
12．（13分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
4080≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解析 (1)依题意，p1＝P(40120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y，
①安装1台发电机的情形：
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝1×5 000＝5 000；
②安装2台发电机的情形：
依题意，当40因此P(Y＝4 200)＝P(40当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，
因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8；
由此得到的分布列如下
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形：
依题意，当40当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，
因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；
当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，
因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1由此得到的分布列如下
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
答案 (1)0.947 7 (2)2台
课件41张PPT。§2.3 离散型随机变量的均值与方差
§2.3.1 离散型随机变量的均值
[课标解读]
1．理解离散型随机变量均值的概念．
2．会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值．
3．掌握离散型随机变量均值的性质及两点分布与二项分布的均值公式．(重点)
4．能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题．(难点)1．离散型随机变量的均值及其性质
(1)离散型随机变量的均值或数学期望：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
基础知识整合①均值或数学期望
E(X)＝________________________________．
②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的__________．
(2)均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量，②E(aX＋b)＝________．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝___．
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝___．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平aE(X)＋bnpp知识点 离散型随机变量的均值
探究1：结合下面的材料，探究几个问题，明确离散型随机变量的均值计算公式．
材料：某商贩有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.
(1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？
提示 X＝5，6，7.
核心要点探究(2)X取上述值时对应的概率分别是多少？
(3)12个西瓜的平均质量该如何求？
探究2：结合离散型随机变量均值的概念，探讨下面问题，进一步理解离散型随机变量的均值．
(1)离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量的哪些内容？
提示 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平．
(2)离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值的单位是否相同？
提示 由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同. 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
题型一 求离散型随机变量的均值例1●规律总结
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)写出X可能取得的全部取值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由期望的定义求出E(X)．
1．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：◎变式训练(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
①求这两种金额之和不低于20元的概率．
②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．
题型二 两点分布及二项分布的均值例2(2)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
①求顾客抽奖1次能获奖的概率．
②若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】 (1)D (2)见自主解答●规律总结
两点分布与二项分布的关系
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
2．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
◎变式训练(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？
(ⅱ)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验．
甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7，8，9，10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
题型三 均值的应用例3(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及求甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
【自主解答】 (1)由图乙可知
P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
●规律总结
解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．?
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
3．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
◎变式训练(1)求T的分布列与数学期望ET；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为
以频率估计概率得T的分布列为
从而ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的数学期望为________．
◎典题示例易错误区(八) 误判ξ的所有可能取值致错典例【解析】 ξ的可能取值为－300，－100，100，300.
P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(ξ＝300)＝0.83＝0.512，
所以ξ的分布列为
根据ξ的分布列，可得ξ的期望E(ξ)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.
【答案】 180
[易错防范]
1．对于随机变量ξ的取值理解错误而致误错填为240.
2．合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误．如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读．
◎典题试解本讲结束
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