2-3-2
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9.则D(X)等于
A．6 B．9 C．3 D．4
解析 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
答案 A
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
解析 由于ξ～B(n，p)，所以得n＝10，p＝0.8.
答案 D
3．设X服从两点分布，分布列为
X
0
1
P
p
q
其中p∈(0，1)，则
A．E(X)＝p，D(X)＝p3
B．E(X)＝p，D(X)＝p2
C．E(X)＝q，D(X)＝q2
D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2
解析 X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p.
D(X)＝p(1－p)＝p－p2.
答案 D
4．随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于
A. B. C. D.
解析 由得
所以D(X)＝×＋×＋×＝.
答案 D
5．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
解析 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.故选B.
答案 B
6．设10≤x1A．D(ξ1)>D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
解析 由于取所有值时的概率均相等，所以只需比较A＝x＋x＋x＋x＋x与B＝＋＋＋＋的大小即可．
B＝＋≤＋
＝A.
因为这5个数互不相等，所以D(ξ1)>D(ξ2)．
答案 A
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
解析 根据二项分布的期望、方差公式求解．
由E(X)＝30，D(X)＝20，可得解得p＝.
答案
8．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________.
ξ
0
1
2
P
－p
p
解析 E(ξ)＝p＋1≤；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.
答案 1
9．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0解析 成功次数X服从二项分布即X～B(100，p)，易得D(X)＝100p(1－p)≤100＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝时取最大值．
故当成功次数的标准差最大时p＝.
答案
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）编号为1，2，3的三位同学随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．
解析 由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝3)＝＝.
所以，X的分布列为
X
0
1
3
P
E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.
答案 1
11．（12分）已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
解析 (1)因为E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，所以＝8.
(2)因为Y＝2η－E(η)，所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
答案 (1)384 8 (2)1 536
12．（13分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X <900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，所以P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)
＝＝＝，
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
答案 (1)3 9.8 (2)
课件38张PPT。§2.3.2 离散型随机变量的方差
[课标解读]
1．理解离散型随机变量方差、标准差的概念及意义．
2．会运用方差的概念及相关公式计算离散型随机变量的方差、标准差，并能解决一些实际问题．(重点)
3．了解方差性质“D(aξ＋b)＝a2D(ξ)”，掌握服从二项分布和两点分布的方差或标准差公式．(重点，难点)
1．方差、标准差的定义及方差的性质
(1)方差及标准差的定义：
设离散型随机变量X的分布列为
基础知识整合a2D(X)p(1－p)np(1－p)知识点 离散型随机变量的方差及性质
探究1：结合离散型随机变量均值与方差的概念及下面所提供材料，完成下面几个问题，明确方差的含义．
材料：从甲、乙两运动员中选一人参加冬季大学生运动会，以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：
核心要点探究(1)试根据分布列求出X1，X2的均值，并探究用均值比较两运动员的成绩优劣．
提示 由均值公式可得E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.
所以E(X1)＝E(X2)，均值相等，无法利用均值比较两运动员的成绩优劣．(2)试用方差公式分别计算出X1，X2的方差，并比较大小．
提示 由方差公式得D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，
故D(X1)(3)欲从甲、乙两运动员中选一人参加冬季大学生运动会，你认为选派哪位运动员参加较好？
提示 通过比较两运动员的平均得分(即均值)得均值相等，即这两名运动员的平均水平一样，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁，由计算得甲的方差小，所以甲运动员更稳定一些，应选派甲参加．
探究2：结合下面的几个问题，进一步理解离散型随机变量方差的概念及性质．
(1)离散型随机变量均值满足E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，方差是否也满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b.
提示 由方差公式可得常数的方差为0，结合公式得D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，故方差不满足式子D(aξ＋b)＝aD(ξ)＋b.
(2)若随机变量X服从两点分布，则其方差D(X)的值为多少，能否利用基本不等式求方差的最大值？
袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个，黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
题型一 求离散型随机变量的方差例1●规律总结
求离散型随机变量X的方差的步骤
1．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．
(1)所选3人中女生人数为 ξ，求ξ的分布列及方差；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
◎变式训练 (1)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k
(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．1－p和p(1－p)
(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，
题型二 求两点分布、二项分布的方差、标准差例2①估计这次测试数学成绩的平均分．
②假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列，数学期望E(ξ)及方差D(ξ)．
【自主解答】 (1)随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0，1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，所以X服从两点分布，故E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，所以D(X)＝p(1－p)．
(2)①利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
所以，估计这次考试的平均分是72分．【答案】 (1)D (2)见自主解答●规律总结
求常见分布列方差的方法
(1)定类型：二项分布问题与独立性重复试验紧密相关，因此在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验，从而将问题转化为二项分布问题．
(2)用公式：当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出．
2．某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
◎变式训练答案 (1)0.019 6 (2)0.196 0.44题型三 离散型随机变量的均值、方差的实际应用
(1)有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
例3(2)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表
【答案】 (1)B (2)乙的技术比较稳定
●规律总结
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定性与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据均值和方差的意义做出结论．
3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
◎变式训练乙保护区：
试评定这两个保护区的管理水平．
解析 甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．
答案 乙保护区的管理水平较高 已知随机变量X的分布列如下表：
且Y＝3X＋1，求E(Y)，D(Y)．
◎典题示例易错误区(九) 错用公式D(aX＋b)＝a2D(X)典例【解析】 因为E(X)＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＝0.1，
所以E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3.
又因为D(X)＝(－2－0.1)2×0.1＋(－1－0.1)2×0.2＋(0－0.1)2×0.4＋(1－0.1)2×0.1＋(2－0.1)2×0.2＝1.49，
所以D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝13.41.
【答案】 1.3 13.41
[易错防范]
1．求解D(Y)时错误类比均值的关系，把D(Y)错误地求解为：D(Y)＝D(3X＋1)＝3D(X)＋1＝5.47.
2．求解此类问题，学会利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求aX＋b的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．
◎典题试解答案 D本讲结束
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