2-4
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．若f(x)＝e－(x∈R)，则下列判断正确的是
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，也无最小值
解析 f(x)是μ＝1，σ＝1的正态分布密度函数，所以在x＝1时取得最大值，无最小值．
答案 B
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝
A．0.447 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析 因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(ξ>2)＝0.023，所以P(ξ<－2)＝0.023.
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案 C
3设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≤P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)
P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．
答案 C
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
解析 由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
答案 A
5．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为
A．p1>p2 B．p1解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
答案 C
6．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的
A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α?(μ－3σ，μ＋3σ)
C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α?(μ－2σ，μ＋2σ)
解析 由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X∈R)服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
解析 由题意知P(X>110)＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
答案 10
8．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．
解析 μ＝10 000，σ＝400，P(9 200答案 0.954 4
9．设X～N，则P(－1解析 由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ答案 0.954 4
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及各，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90分内的学生占多少？
解析 (1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70，102)，则μ＝70，σ＝10.在60～80分之间的学生的比例为P(70－10(2)成绩在80～90分内的学生的比例为[P(70－2×10答案 (1)15.87% (2)13.59%
11．（12分）如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．
解析 从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
答案 20 2
12．（13分）已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且
(1)若μ＝4，σ＝1，求P(5(2)若P(X>4)＝P(X≤2)＝0.158 7，求μ，σ的值．
解析 (1)依据正态分布曲线关于直线x＝4对称得P(5(2)由P(X>4)＝P(X≤2)知正态曲线关于直线x＝3对称．故μ＝3，又P(X>4)＝P(X≤2)＝0.158 7，即P(2故有P(3－1答案 (1)0.135 9 (2)3 1
课件33张PPT。§2.4 正态分布
[课标解读]
1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．
2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率的大小．(重点)
3．会用正态分布去解决一些实际问题．(难点)
基础知识整合上方x＝μ1μ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“_____”，表示总体的分布越_____； σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越_____．如图所示：
瘦高集中矮胖分散2．正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)正态分布：
①如果对于任何实数a，b(a②记为：X～_________．N(μ，σ2)(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率：
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝_______；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ ；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________．
0.682 60.954 40.997 4知识点 正态曲线、正态分布
探究1：结合正态曲线的图象完成下面几组填空，总结正态曲线的特点．核心要点探究上图形中的各空应填的内容分别为：
①峰值：__________；
②位置：曲线位于x轴的________，与x轴________；
③面积：曲线与x轴之间的面积为____；
④对称轴：________．提示 μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． (1)某次我市高三数学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
题型一 正态曲线及其性质例1(2)如图是当σ取不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的关系是
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
【答案】 (1)A (2)D◎变式训练A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析 μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
答案 A (1)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
(2)设随机变量X～N(1，22)，试求：
①P(－1②P(3题型二 正态分布中的概率计算例2【答案】 (1)B (2)①0.682 6 ②0.135 9●规律总结
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
特别注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0.
◎变式训练(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布X～N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率．
答案 (1)C (2)0.341 3 设在一次数学考试中，某班学生的成绩X～N(110，202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．
题型三 正态分布的实际应用例3【答案】 45人 9人●规律总结
正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
3．某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．
(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？
(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？
◎变式训练解析 由已知X～N(50，102)，Y～N(60，42)．由正态分布的2σ区间性质P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：
对X：μ＝50；σ＝10，2σ区间为(30，70)，
对Y：μ＝60；σ＝4，2σ区间为(52，68)，要尽量保证用时在X?(30，70)，Y?(52，68)才能保证有95%以上的概率准时到达．(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线．
(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线．
答案 (1)应该走第二条路线
(2)应该走第一条路线
已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
◎典题示例易错误区(十) 正态曲线的特征认识不清导致错误典例
【解析】 如图，正态分布的密度函数图象关于直线x＝2对称，所以P(ξ<2)＝0.5，并且P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)，则P(0<ξ<2)＝P(ξ<4)－P(ξ<2)＝0.8－0.5＝0.3.
【答案】 C
?[易错防范]
1．易把P(ξ<4)与P(0<ξ<4)混淆，错选B.
2．正态曲线是“钟”形的对称曲线，对称轴两侧的面积相等，即概率相等，如本例中(0，2)与(2，4)为对称区间，对应概率相等．
随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
解析 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7.所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
答案 0.341 3
◎典题试解本讲结束
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