课件27张PPT。章末整合提升知识网络答案 ①均值 ②条件概率 ③正态分布 ④3σ原则 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？题型一 条件概率的求法专题归纳典例1 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
(1)其中至少有一件废品的概率；
(2)其中至多有一件废品的概率．
【自主解答】 设事件A＝“从甲机床抽得的一件是废品”；B＝“从乙机床抽得的一件是废品”．
则P(A)＝0.05，P(B)＝0.1.
题型二 相互独立事件同时发生的概率典例2题型三 离散型随机变量的期望与方差典例3●规律总结
求离散型随机变量的期望与方差的步骤
设X～N(10，1)．
(1)证明：P(1(2)设P(X≤2)＝a，求P(10【自主解答】 (1)因为X～N(10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x＝10对称，
题型四 正态分布的概率典例4●规律总结
正态分布的概率求法
(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
解析 因为P(X≤c)＝P(X>c)，由正态曲线的对称性知μ＝c.
答案 C
◎跟踪训练答案 B6．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．章末达标测试(二)
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1，2，3，4，5，在有放回的条件下，依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是
A．25 B．10 C．9 D．5
解析 “有放回”的取和“不放回”的取是不同的，故X的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种．
答案 C
2．若随机变量X～B，则P(X＝3)等于
A. B. C. D.
解析 由二项分布的概率公式得P(X＝3)＝C＝.
答案 B
3．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A. B. C. D.
解析 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中有两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝＝，故选C.
答案 C
4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解析 由正态分布N(0，1)的密度曲线的几何意义，知题图中阴影部分的面积为P(0答案 C
5．设随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
则E(X)的值为
A. B. C. D.
解析 由题意，a＝1－－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案 C
6．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为
A. B. C. D.
解析 由于共有2道文史题和3道理科题，在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽取时，还剩下2道文史题和2道理科题，其中抽到理科题共有2种可能．
故在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率P＝＝，故选D.
答案 D
7．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．则E(ξ)＝
A．1.48 B．0.76 C．0.24 D．1
解析 ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
答案 A
8．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A. B. C. D.
解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因事件相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.
答案 B
9．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)＝
A. B. C. D.
解析 ∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.
答案 C
10．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－，则下列命题中不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10
解析 利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A、D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.
答案 B
11．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
解析 因为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<，即ξ＝1，2，3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3.
答案 A
12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为
A. B. C. D.
解析 由已知，得3a＋2b＋0·c＝2，得3a＋2b＝2，所以ab＝×3a×2b≤＝.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝3，p＝，则n＝________，D(ξ)＝________．
解析 由已知即
所以n＝21，D(ξ)＝＝.
答案 21
14．如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下面式子中，等于图中阴影部分面积的序号为________．
①－P(X≤－a)；
②P(X≤a－1)；③P(X≤a)－.
解析 图中阴影部分面积为－P(X≤－a)，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为P(X≤a)－，故正确的为①③.
答案 ①③
15．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P(B|A)＝________．
解析 由题意得P(A)＝＝，P(AB)＝P(B)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案
16．甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关，甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为.
(1)求这一技术难题被攻克的概率为________；
(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部资金a万元，若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元．若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，则X的数学期望为________．
解析 (1)这一技术难题被攻克的概率
P＝1－＝.
(2)X的可能取值分别为0，，，a.
P(X＝0)＝＝.
P＝＝.
P＝＝.
P(X＝a)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
a
P
E(X)＝0×＋×＋×＋a×＝a.
答案 (1) (2)(分布列略)a
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
(1)至少有1株成活的概率；
(2)两种大树各成活1株的概率．
解析 设Ak表示第k株甲种大树成活，k＝1，2，
设Bl表示第l株乙种大树成活，l＝1，2.
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1株成活的概率为
1－P(1212)＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)＝1－×＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为P＝×＝×＝.
答案 (1) (2)
18．(12分)商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少？
解析 因为大米的质量服从正态分布N(10，0.12)，要求质量在9.8～10.2 kg的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．
由正态分布N(10，0.12)知，μ＝10，σ＝0.1.
所以质量在9.8～10.2 kg的概率为P(10－2×0.1答案 0.954 4
19．(12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解析 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
答案 (1)
(2)
X
0
1
2
P
20．(12分) (2018·天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解析 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)(ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(ⅱ)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由(ⅰ)知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.所以，事件A发生的概率为.
21．(12分)现有长分别为1 m，2 m，3 m的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号)，从中随机抽取n根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9)，再将抽取的两根钢管相接焊成笔直的一根．
(1)当n＝3时，记事件A＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)；
(2)当n＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，
①求ξ的分布列．
②令η＝－λ2ξ＋λ＋1，E(η)>1，求实数λ的取值范围．
解析 (1)当n＝3时，即从9根中抽取3根，故总的基本事件数为C，
事件A，可从三类中任取一类共C种，再从该类的3个中任取2个共C种，然后再从其余两类的6个中任取1个共C种，故总共CCC种，故P(A)＝＝.
(2)①由题意可知：ξ可能的取值为2，3，4，5，6，同(1)的求解方法可得：P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，
故ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
6
P
②E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4.
因为η＝－λ2ξ＋λ＋1，
所以E(η)＝－λ2E(ξ)＋λ＋1＝－4λ2＋λ＋1，因为E(η)>1，所以－4λ2＋λ＋1>1，解得0<λ<.
答案 (1) (2)①
ξ
2
3
4
5
6
P
②0<λ<
22．(13分)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
410
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
解析 (1)X可能的取值为0，1，2，3，4，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，
s＝[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．
答案 略
