1-2-1-1
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
答案 B
2．从甲、乙、丙三幅标语中选出两幅，挂在教室南北两面墙上，则不同的挂法种数共有
A．3 B．5 C．6 D．9
解析 树形图如下．
共6种．
答案 C
3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为
A．3 B．4 C．6 D．12
解析 列举如下：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A.
答案 C
4．用0，1，2组成没有重复数字的三位数，共有几种不同的组法
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解析 列举如下：102，120，201，210共4种．
答案 B
5．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四年贺年卡不同的分配方式有
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
解析 解法一 设四张贺年卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．
用树状图表示，如图．
共有9种不同的分配方式．
解法二 让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式．
答案 B
6．用1，2，3，4，5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为
A．24 B．30 C．40 D．60
解析 先排个位，有2种排法(即排2或4)；排十位，有4种排法；再排百位，有3种排法．应用分步乘法计数原理，得符合题意的三位数个数为2×4×3＝24.
答案 A
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为____．(把代号填上)
①甲乙、乙甲、甲丙，丙甲；
②甲乙，丙乙，丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
解析 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应两种站法，故③正确．
答案 ③
8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
解析 第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同选法，其中真分数有，，，，，，共6个．
答案 12 6
9．从0，2，3，5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的顺序把这些两位数排列起来，则52是第________个数．
解析 组成一个两位数分两步，第一步：选十位上的数字，有3种不同的选法，第二步：选个位上的数字，有3种不同的选法，共有3×3＝9个不同的两位数．于是52是第8个两位数．
答案 8
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．
解析 画出树形图如图所示．
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
答案 ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc
11．（12分）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数．
(1)共能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成的这样的三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
解析 (1)组成一个三位数分三个步骤．
第一步：选百位上的数字，考虑0不能排首位，故有3种不同选法．
第二步：选十位上的数字，有3种不同选法．
第三步：选个位上的数字，有2种不同选法．
根据分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18个不同的三位数．
画出下列树形图：
由树形图知，所有三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
共有8个三位数，它们是201，210，230，231，301，302，310，312.
答案 (1)18个 102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321
(2)8个 201，210，230，231，301，302，310，312
12．（13分）为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
解析 由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式．
不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示，那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种，其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色，那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下的两个不相邻的空里，各4种，147留4个空，两个两个相邻，共4种放法．
137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法．
246，四个空都分开，有6种放法．
所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38(种)，
当黄或蓝有3个时，种数一样，故一共有3×38＝114种不同的放法．
答案 114种
课件25张PPT。§1.2 排列与组合
§1.2.1 排列
第1课时 排列的概念及简单排列问题
[课标解读]
1．理解并掌握排列的概念．(重点)
2．理解并掌握树形图的应用，会用树形图解决简单的排列问题．(难点)
1．排列的概念
(1)元素：问题中被取的______．
(2)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)_____ 相同． (2)_____ 相同．
基础知识整合对象一定的顺序元素顺序知识点 排列的概念
探究1：判断一个计数问题是否为排列问题的关键是什么？
提示 判断一个计数问题是不是排列问题，关键看在安排取出的元素时是有序还是无序，有序就是排列问题，无序就不是排列问题．核心要点探究探究2：元素相同的两个排列是否相同？两个排列相同的充要条件是什么？
提示 元素相同的两个排列不一定相同．两个排列相同的充要条件是元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．探究3：从1，2，3三个数中任取两个数相除所得的商的个数与任取两个数相乘所得的积的个数相等吗？二者有什么区别？
(1)下列问题是排列问题的为________．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信．
题型一 排列的概念例1(2)给出以下问题：
①由1，2，3三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？
②从40人中选5人组成篮球队，有多少种不同的选法？
③从1，2，3，4中取两个数可以组成多少个不同的集合？其中是排列问题的是________(只填序号)．
【自主解答】 (1)①是．植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
②不是．选2个小组分别去种菜，不存在顺序问题，不是排列问题．
③是．A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．
(2)①由1，2，3组成的三位数与顺序有关，是排列问题；
②，③不存在顺序问题，不是排列问题．
【答案】 (1)①③ (2)①
●规律总结
1．判断一个具体问题是否为排列问题的两个条件
(1)元素的无重复性：即从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素．
(2)元素的有序性：即安排这m个元素是有顺序的，有顺序的就是排列，否则就不是排列．
2．检验元素有序性的方法
◎变式训练解析 (1)不是．如1＋2与2＋1结果一样，即取出的这两个元素相加结果一样，所取元素没有顺序性．
(2)是．从1，2，3，5四个数字中任取两个做除法，有顺序，符合排列的特点．
(3)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的m，n必有m>n，m，n的大小一定．
答案 (1)不是 (2)是 (3)不是 理由略
写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
【自主解答】 (1)所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．
题型二 排列的求法例2(2)画出树形图，如图所示．由上面的树形图知，所有的四位数为：
1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数．
【答案】 (1)12个 (2)24个 列出略
●规律总结
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．
2．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
解析 按分步乘法计数原理的步骤：
第一步，分给甲，有3种分法；
第二步，分给乙，有2种分法；
第三步，分给丙，有1种分法．
故共有3×2×1＝6种不同的分法．
列出这6种分法，如下：
◎变式训练甲 乙 丙
玫瑰花 月季花 莲花
玫瑰花 莲花 月季花
月季花 玫瑰花 莲花
月季花 莲花 玫瑰花
莲花 玫瑰花 月季花
莲花 月季花 玫瑰花
答案 6种 列出略 在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________．
【解析】 首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图是：
◎典题示例易错误区(二) 忽视排列问题中的限制条件而致错典例其次满足a3>a2的树形图是：
再满足a3>a4的排列有：2 143，3 142，3 241，4 132，4 231，共5个．
【答案】 5
[易错防范]
1．忽视a3>a2及a3>a4的限制条件，导致错填12或8.
2．两个注意
解答有限制条件的简单的排列问题时首先应注意限制条件是“位置”还是“元素”，其次解决这类问题时应注意特殊位置、特殊元素优先考虑的原则，做到不重不漏，如本例a1>a2，a3>a2，a3>a4等特殊位置的处理．3．转化与数形结合意识
有些非数学化的排列问题可以转化为数学问题后再求解，为了形象直观，可借助树形图，如本例中借助树形图使求解更加形象直观，不重不漏．
某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．
◎典题试解解析 如图，
由树形图可写出所有不同试验方法如下：
a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．
答案 略本讲结束
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[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．4×5×6×…×(n－1)×n等于
A．A B．A C．n！－4！ D．A
解析 4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.
答案 D
2．下列等式正确的个数为
①n！＝；
②n(n－1)(n－2)…(n－m)＝；
③A＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①右边＝＝n！＝左边，正确；
②
＝
＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m)，故②正确．
③A＝显然错误，故选C.
答案 C
3．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为
A．A B．A C．A D．A
解析 因为m，m＋1，m＋2，…，(m＋20)中的最大数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21(个)，所以m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝A.
答案 D
4.＝
A．12 B．24 C．30 D．36
解析 A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.
答案 D
5．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A．1 440种 B．960种 C．720种 D．480种
解析 从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
答案 B
6．不等式A－n<7的解集为
A．{n|－1C．{3，4} D．{4}
解析 由不等式A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，
整理得n2－4n－5<0，解得－1又因为n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，
所以n＝3或n＝4，
故不等式A－n<7的解集为{3，4}．
答案 C
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．计算：＝________．
解析 原式＝＝＝.
答案
8．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析 由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案 10
9．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．
解析 从原来的4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A＝20种添加方法．
答案 20
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）若3A＝2A＋6A，求x.
解析 由3A＝2A＋6A，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．因为x≥3且x∈N*，所以3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5或x＝(舍去)，所以x＝5.
答案 5
11．（12分）解不等式：A>140A.
解析 根据排列数定义，得x∈N*，且应满足：
解得x≥3.
根据排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)<140x·(x－1)·(x－2)．
∵x≥3，∴两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)·(2x－1)<35(x－2)，
即4x2－35x＋69<0，解得3∵x∈N*，∴x＝4或x＝5.
答案 4或5
12．（13分）由1，2，3，4，5，6六个数字可组成多少个
(1)三位数？
(2)没有重复数字的三位数？
解析 (1)由1，2，3，4，5，6六个数字可组成的三位数的个数为6×6×6＝216.
(2)由1，2，3，4，5，6六个数字组成没有重复数字的三位数，相当于从六个不同的元素中任取三个元素的排列问题，因而这样的三位数共有A＝6×5×4＝120(个)．
答案 (1)216 (2)120
课件29张PPT。第2课时 排列与排列数公式
[课标解读]
1．理解排列、排列数的概念．
2．了解排列数公式的推导，培养学生化归的数学思想方法．
3．能用排列数公式计算排列数．
排列数及排列数公式
基础知识整合不同排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1知识点 排列数的定义与排列数公式
探究1：阅读排列数的定义，思考下列问题：
(1)把n个不同元素全部取出得到的排列数如何表示？
核心要点探究(2)一个排列与排列数有哪些不同？
提示 “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，是一个数．
提示 x≤5，x∈N*.
(2)在排列数公式的乘积式的右边是多少个连续的自然数的乘积？
提示 m个．
题型一 排列数的计算问题3例1【答案】 (1)720 (2)1[规律方法] 排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
◎变式训练题型二 与排列数有关的方程、不等式及
证明问题例2化简得x2－19x＋78<0，解得6因为x∈N*，所以x＝7，8，9，10，11，12.
由排列数的定义，可知x≤8且x－1≤9，
即x≤8，所以x＝7或x＝8.
【答案】 (1)B (2)①3 ②7或8
●规律总结
解排列数方程(或不等式)的步骤
◎变式训练题型三 利用排列与排列数解简单计数应用题
(1)6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为
A．36 B．120
C．720 D．240
(2)一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？
例3【答案】 (1)C
(2)原有15个车站，现有17个车站●规律总结
1．利用排列与排列数解排列应用题的基本思想2．解简单排列应用题的思路
(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．
(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件．
(3)运用排列数公式求解．3．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
◎变式训练答案 (1)144 (2)480 ◎典题示例典例【答案】 { x | x＝8}◎典题试解答案 6本讲结束
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