1-2-2-1
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．给出下列问题：
①从1，2，3，…9这九个数字中任取3个，组成多少个三位数？
②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①是排列问题，和顺序有关．②，③是组合问题，和顺序无关，故选C.
答案 C
2．已知C＝C，则x的值是
A．2 B．6 C. D．2或6
解析 根据组合数性质C＝C可得到：若C＝C，则
根据题意得到：
解得x＝2或x＝6.
答案 D
3．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为
A．4 B．8 C．28 D．64
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C＝28条公路．
答案 C
4．已知C－C＝C，则n等于
A．14 B．12 C．13 D．15
解析 ∵C＝C，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.
答案 A
5．计算C＋C＋C＋…＋C的值为
A．C B．C C．C－1 D．C－1
解析 C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1.
答案 C
6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是
A．CC B．CC C．C D．AA
解析 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．
答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．若C∶C∶C＝3∶4∶5，则n－m＝________．
解析 由题意知由组合数公式得
解得n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.
答案 35
8．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．
解析 原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝7 315.
答案 7 315
9．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
解析 通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法CC＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4(种)．
根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同选法有16种．
优解 从6人中任选3人，不同的选法有C＝20(种)，从6人中任选3人是男生，不同的选法有C＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法20－4＝16(种)．
答案 16
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）计算：(1)C＋C·C；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；
(3)C·C.
解析 (1)原式＝C＋C×1＝＋＝35＋1 225＝1 260.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2＝32.
(3)解法一 原式＝C·C＝·n＝·n＝(n＋1)·n＝n2＋n.
解法二 原式＝(C＋C)·C＝(1＋C)·C＝(1＋n)·n＝n2＋n.
答案 (1)1 260 (2)32 (3)n2＋n
11．（12分）解不等式C>C＋2C＋C.
解析 因为C＝C.所以原不等式可化为C>(C＋C)＋(C＋C)，即C>C＋C，也就是C>C，所以>，
即(n－3)(n－4)>20，解得n>8或n<－1.
又n∈N*，n≥5，所以n≥9且n∈N*.
答案 n≥9且n∈N*
12．（13分）现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？
解析 (1)从2件次品中任取1件，有C种抽法；
从8件正品中取2件，有C种抽法．
由分步乘法计数原理可知，共有C×C＝56种不同的抽法．
(2)解法一 含1件次品有C×C种抽法，含2件次品有C×C种抽法．
由分类加法计数原理知，共有C×C＋C×C＝56＋8＝64种不同的抽法．
解法二 从10件产品中任取3件有C种抽法，
不含次品有C种抽法，
所以至少有1件次品有C－C＝64种抽法．
答案 (1)56 (2)64
课件31张PPT。§1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
[课标解读]
1．使学生正确理解组合、组合数的概念．
2．使学生会类比排列数公式的推导推导组合数公式．(难点)
3．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(重点)1．组合的定义
从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
基础知识整合合成一组2．组合数的概念、公式、性质
所有不同组合知识点一 组合的定义
探究1：通过下列问题的探究，明确排列与组合的关系：
(1)从甲、乙、丙三人中选出两人参加某活动，则共有不同的选法种数为________，若选出的两人参加某两项不同的活动，则共有不同的选法种数为________．
核心要点探究提示 从甲、乙、丙三人中选两人参加某活动，共有甲乙、甲丙、乙丙3种不同的选法，而从甲、乙、丙三人中选两人参加某两项不同的活动，则有甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙共6种不同的选法．(2)据(1)中问题的解决，考虑此处的两个问题最大的不同点是什么？
提示 最大的不同点在于选出的两人是否有顺序．
探究2：根据组合的定义，思考下列问题：
(1)组合与排列的异同点分别是什么？
提示 共同点：都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”；不同点：组合“不管顺序并成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”．
(2)从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？
提示 是．组合与顺序无关．
提示 m，n∈N*，且m≤n.(2)一个组合与组合数有何区别？
提示 一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数．解题时应分清求组合还是组合数．提示 求值，计算 化简，证明(2)根据组合数公式能否得到排列数与组合数的一个关系式？
判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？
题型一 组合的有关概念例1【自主解答】 (1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．
(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．
(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的．
【答案】 (1)排列问题 (2)组合问题 (3)组合问题 (4)排列问题
●规律总结
判断一个问题是组合问题还是排列问题的关键及依据
(1)关键：在于选出的元素与顺序是否有关．
(2)依据：若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题还是排列问题，并用组合数或排列数表示出来．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
◎变式训练题型二 与组合数有关的计算证明例2【答案】 (1)①0 ②466 (2)见自主解答◎变式训练答案 (1)5 006 (2)9
在100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1)都不是次品的取法有多少种？
(2)至少有1件次品的取法有多少种？
(3)不都是次品的取法有多少种？
题型三 简单的组合问题例3●规律总结
解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事；
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．3．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)甲当选且乙不当选；
(2)至少有1女且至多有3男当选．
◎变式训练答案 (1)70 (2)186 ◎典题示例易错误区（四） 忽略组合数公式成立的条件而导致错误典例◎典题试解本讲结束
请按ESC键返回综合训练·能力提升1-2-2-2
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏灯不相邻，则不同的亮灯方案有
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
解析 四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，有C＝10种方案．
答案 C
2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
解析 分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共有CC种选法，则共有CC＋CC＋CC＝34种选法．
答案 D
3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
解析 最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA＝36种不同的播放方式．
答案 C
4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
解析 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C＝1种取法，取2个奇数2偶数有C·C＝60种取法，取4个数均为奇数有C＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．
答案 D
5．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
A．144 B．120 C．72 D．24
解析 三人全相邻的坐法，采用捆绑法，将三人“绑在一起”，相当于一个元素在四个位置中选一个，而三人要全排列，共有CA＝24种；
只有2人相邻的坐法，从三人中任选两人，将这两人“绑在一起”，分类讨论：
①若这两人坐(12)位，则第三人只能在4，5，6位中选一个位置，有3种坐法；
②若这两人坐(23)位，则第三人只能在5，6位中选一个位置，有2种坐法；
③若这两人坐(34)位，则第三人只能在1，6位中选一个位置，有2种坐法；
④若这两人坐(45)位，则第三人只能在1，2位中选一个位置，有2种坐法；
⑤若这两人坐(56)位，则第三人只能在1，2，3位中选一个位置，有3种坐法；
这样只有2人相邻的坐法(这两人要全排列)共有CA(3＋2＋2＋2＋3)＝72种坐法；
3人的所有可能的坐法为A＝120种；
综上可知，任何2人不相邻的坐法种数为120－24－72＝24(种)．
答案 D
6．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有
A．120种 B．5种 C．240种 D．180种
解析 先从5本中选出2本，有C种选法，再与其他三本一起分给4人，有A种分法，故共有C·A＝240种不同的分法．
答案 C
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案(用数字作答)．
解析 这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：
第1类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同选修方案；
第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案 75
8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析 两老一新时，有C×CA＝12种排法；两新一老时，有C×CA＝36种排法，故共有48种排法．
答案 48
9．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每天只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有________种．
解析 当所选4人中没有甲乙时，方案有A种；当所选4人中只有甲乙中一人时，方案有CCCA种；当所选4人中有甲乙两人时，方案有CAA种，所以总的方案有240种．
答案 240
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）从－11，－7，0，1，2，3，4，5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C＝0中的字母A，B，C的值．问斜率k小于零的不同直线有多少条？
解析 (1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0，1，2，3，4，5中选出一个安排C，则有CA种方法；
(2)从1，2，3，4，5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有CAC种方法．
但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A＝2，B＝1，C＝0时和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成CA＋CAC－2＝130条斜率k小于零的直线．
答案 130
11．（12分）一个质点从平面直角坐标系的原点O出发，每次沿坐标轴正方向或负方向移动1个单位，若经过8次移动，质点落在点(1，5)处，则质点做的不同运动方式共有多少种？
解析 由题意知，有两种情形：①沿x轴方向移动3次(2次正方向，1次负方向)，沿y轴正方向移动5次，共有CCC＝168种；②沿x轴正方向移动1次，沿y轴方向移动7次(6次正方向，1次负方向)，共有CCC＝56种，于是共有224种．
答案 224
12．（13分）从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
解析 (1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以有C·C·A＝100 800个符合题意的七位数．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有C·C·A·A＝14 400.
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有C·C·A·A·A＝5 760.
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有C·C·A·A＝28 800个符合题意的七位数．
答案 (1)100 800 (2)14 400 (3)5 760 (4)28 800
课件28张PPT。第2课时 组合的综合应用 (1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种．
(2)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
题型一 简单的组合问题例1①任意选5人；
②甲、乙、丙三人必须参加；
③甲、乙、丙三人不能参加；
④甲、乙、丙三人只能有1人参加；
⑤甲、乙、丙三人至少1人参加；
⑥甲、乙、丙三人至多2人参加．
【答案】 (1)100 (2)见自主解答●规律总结
解简单的组合应用题的策略
1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．
2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？◎变式训练答案 (1)8 955 (2)8 955 (3)8 955 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
题型二 与几何有关的组合问题例2【答案】 216●规律总结
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A．18对 B．24对
C．30对 D．36对◎变式训练答案 D (1)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有________种．
(2)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
①分给甲、乙、丙三人，每人两本；
②分为三份，每份两本；
③分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
④分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．
题型三 组合应用题中的分组、分配问题例3【答案】 (1)2 520 (2)①90 ②15 ③60 ④360●规律总结
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题：分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3．有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？◎变式训练 (6分)用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个？
◎典题示例规范解答(二) 求解数字中的排列与组合问题典例(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
◎典题试解本讲结束
请按ESC键返回综合训练·能力提升
