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[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
解析 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
答案 A
2．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
解析 分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0，2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0，2，4.当万位数字为4时，个位数字从0，2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0，2，4中任选一个，共有AA个偶数，故符合条件的偶数共有2A＋AA＝120(个)．
答案 B
3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
A．1 800 B．3 600 C．4 320 D．5 040
解析 利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A种排法，所以共有A·A＝3 600种排法．
答案 B
4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
A．324 B．328 C．360 D．648
解析 若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A种排法；若个位数不是0，先从2，4，6，8中取一个放在个位，在其余的8个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余的8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A＋4×8×8＝328.
答案 B
5．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解析 只能是一个人完成2项工作，有6种安排方案，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得6·A＝36.故选D.
答案 D
6．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有
A．288个 B．240个 C．144个 D．126个
解析 第1类，个位数字是2，首位可排3，4，5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；
第2类，个位数字是4，有AA个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2，3，4，5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．
由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．
答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
解析 根据排列数公式求解．
A＝40×39＝1 560.
答案 1 560
8．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．
解析 先在前3节课中选一节安排数学，有A种安排方法；
在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方法；
其余4节课无约束条件，有A种安排方法．
根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A·A＝288.
答案 288
9．用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个(用数字作答)．
解析 把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有A种排列方法，它们与另外2个数之间又有A种排列方法，根据分步乘法计数原理知，共有AAAA＝8×120＝960个八位数．
答案 960
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．明年高考后我们都要填报高考志愿表了，下面是高考第一批录取志愿表的一部分，假如你已经选中了较为满意的8个学校和5个专业，若表格填满且学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话那么你将有多少种不同的填表方法呢？
学校
专业
一
二
1
2
3
4
5
6
解析 尽管第二志愿的六个学校是平行志愿，但是录取还是从前到后，因此仍然存在顺序，再加上第一志愿的一个学校，于是问题转化为从8个学校中，选取7个不同的学校的排列问题，每个学校对应3个专业，由分步乘法计数原理可知，共有A(A)7种不同的填报志愿方法．
答案 A(A)7
11．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？
解析 依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有AA＝48(种)．
因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．
答案 1 008
12．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．
解析 (1)用插空法，共有AA＝1 440(个)．
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576(个)．
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720(个)．
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840(个)．
答案 (1)1 440 (2)576 (3)720 (4)840
课件19张PPT。第3课时 排列的综合应用
(1)在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有________个．
(2)用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同且与首末数字不同，但首末两位数字相同的共有多少个？
题型一 有关数字的排列问题例1【答案】 (1)24 (2)96●规律总结
1．解数字排列问题的求解策略
(1)首位数字不为0.
(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”．
(3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”．
(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素、特殊位置分类．
2．有限制条件的排列问题的求解技巧
排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置上不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．
?1．由0，2，5，6，7，8这六个数字组成没有重复数字的四位自然数(解答时给出简单的理由)．
(1)共能得到多少个这样的四位数？
(2)设这样得到的四位奇数有a个，四位偶数有b个，求a－b的值．
(3)将所得到的所有四位数从小到大排成数列{an}，求a128.◎变式训练答案 (1)300 (2)－108 (3)6 075 (1)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A．42 B．96
C．48 D．124
(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种．
题型二 有关排队、排节目的排列问题例2【答案】 (1)A (2)36●规律总结
排队、排节目问题的解题策略
(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．
(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．
(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．2．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．
◎变式训练 (12分)4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则有多少种不同的出场顺序？
◎典题示例规范解答(一) 排列的综合应用典例有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？
◎典题试解答案 300本讲结束
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[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是
A．－27C B．27C C．－9C D．9C
解析 含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.
答案 D
2．在的展开式中常数项是
A．－28 B．－7 C．7 D．28
解析 Tr＋1＝C··＝(－1)k·C··x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.
答案 C
3．(1＋x)6展开式中x2的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
解析 (1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，在(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝＝15，在·(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝15，所以x2的系数为15＋15＝30.故选C.
答案 C
4．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是
A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5
解析 原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案 D
5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
解析 Tk＋1＝C·x·x－＝C·x12－k，则k＝0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数．
答案 C
6．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；
②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．
其中正确的是
A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．①与④
解析 二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
答案 D
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．
解析 Tr＋1＝C(3x)r＝C·3r·xr，令r＝2，得C·32＝54，得·9＝54，整理得n2－n－12＝0，解得n＝4.
答案 4
8．在的展开式中，中间项是________．
解析 由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案 －160x3
9．230＋3除以7的余数是________．
解析 230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.
答案 4
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解析 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
答案 (1)15 240 (2)－192x2
11．（12分）在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，
(1)求r的值；
(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．
解析 (1)第4r项和第r＋2项的二项式系数分别是C和C，因为C＝C，所以4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，
解得r＝4或r＝.所以r＝4.
(2)T4r＝T16＝C·(－x2)15＝－15 504x30，
Tr＋2＝T6＝C(－x2)5＝－15 504x10.
答案 (1)4 (2)－15 504x30 －15 504x10
12．(13分)已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
解析 通项公式为Tk＋1＝Cx(－3)kx－＝C(－3)kx.
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)根据通项公式，由题意得
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r.
∵k∈Z，∴r应为偶数．
于是r可取2，0，－2，即k可取2，5，8.
故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
答案 (1)10
(2)C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2
课件22张PPT。§1.3 二项式定理
§1.3.1 二项式定理
[课标解读]
1．理解二项式定理是代数乘法公式的推广．
2．理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理．(难点)
3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)
二项式定理基础知识整合右边的式子核心要点探究提示 二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，幂指数不能是零和负数．(2)根据二项式定理考查(a＋b)n与(b＋a)n展开式相同吗？
(2)二项式(a＋b)n的通项和(b＋a)n的通项相同吗？
题型一 二项式定理的正用，逆用例1●规律总结
1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
◎变式训练题型二 求二项展开式的特定项例2【答案】 (1)C (2)－10●规律总结
1．求二项展开式特定项的步骤
(4)求整式项．求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
提醒：在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．
◎变式训练◎典题示例易错误区(五) 混淆二项式系数与项的系数而致误典例【答案】 6◎典题试解本讲结束
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