1-3-2
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析 该式展开共2n＋2项，中间有两项：第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
答案 C
2．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为
A．3 B．6 C．9 D．12
解析 解法一 x3＝[2＋(x－2)]3＝C23＋C22(x－2)＋C2(x－2)2＋C(x－2)3＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，故a2＝6.
解法二 右边x2的系数为Ca2＋C(－2)a3＝a2－6a3，右边x3的系数为a3，
利用左右两边对应系数相等，得故a2＝6.
答案 B
3．关于(a－b)10的说法，错误的是
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案 C
4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于
A．64 B．32 C．63 D．31
解析 C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
答案 B
5．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是
A．7 B．－7 C．21 D．－21
解析 由题意知2n＝128，∴n＝7.
设二项式的展开式中第r＋1项为含的项．则Tr＋1＝C·37－r·(－1)r·x7－r，令7－r＝－3，得r＝6.
∴的系数为C·37－6(－1)6＝21.
答案 C
6．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于
A．23 015 B．－23 014 C．23 014 D．－23 008
解析 因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.
答案 B
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析 由1，3，5，7，9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
8．(a＋x)(1＋x)4的展开式中，x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
解析 设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其所有项的系数之和为f(1)＝(a＋1)·(1＋1)4＝(a＋1)×16，又奇数次幂项的系数和为[f(1)－f(－1)]，∴×(a＋1)×16＝32，∴a＝3.
答案 3
9．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1·x＋a2·x2＋…＋a50·x50，则a3等于________．
解析 a3＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C.
答案 C
三、解答题（本大题共3小题，共35分）
10．（10分）设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解析 (1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.与(2)中(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100
＝1.
(5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，所以a2k－1<0(k∈N*)．
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
答案 (1)2100 (2)(2－)100－2100
(3) (4)1 (5)(2＋)100
11．（12分）已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
解析 (1)由已知C＋2C＝11，
所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝＋.
因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
答案 (1)3 (2)30
12．（13分）已知.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解析 (1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0.
解得n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
所以T4的系数＝C23＝，
T5的系数＝C24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
所以T8的系数＝C27＝3 432.
(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.
所以n＝12或n＝－13(舍去)．
设Tk＋1项的系数最大，
因为＝(1＋4x)12，
所以
所以9.4所以展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C··210·x10＝16 896x10.
答案 (1)当n＝7时，T4和T5的二项式系数最大，此两项的系数分别是，70 当n＝14时，T8的二项式系数最大，它的系数为3432 (2)T11＝16 896x10
课件30张PPT。§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
[课标解读]
1．了解杨辉及杨辉三角；初步认识杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(难点)
2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(重点)
3．理解和初步掌握赋值法．
基础知识整合相等和等距离知识点 杨辉三角与二项式系数的性质
表一：
核心要点探究表二：
探究：观察上面(a＋b)n展开式中的二项式系数，结合杨辉三角有关的内容，探究以下问题：
(1)杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？(2)二项式中各项的二项式系数之和如何求？
(3)如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和？
提示 通常利用赋值法，如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋1)n.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果.
(1)杨辉三角如图(a)所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是
A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行
题型一 与“杨辉三角”有关的问题例1(2)如图(b)，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
A．144 B．146 C．164 D．461
【自主解答】 (1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．【答案】 (1)B (2)C●规律总结
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
1．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行1
第1行1 1
第2行1 2 1
第3行1 3 3 1
第4行1 4 6 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
……◎变式训练答案 34 (1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A．212 B．211 C．210 D．29
(2)设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
求：①a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
②a1＋a3＋a5的值；
③|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．题型二 求二项展开式中的系数和例2【答案】 (1)D (2)①－2 ②－122 ③2422．求(x2＋x－1)7(2x＋1)4展开式按x的升幂排列时奇数项的系数和．◎变式训练题型三 二项式系数的综合应用例3◎变式训练答案 (1)T5＝1 120x－6 (2)第6项和第7项 ◎典题示例规范解答(三) 二项式性质的应用典例已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
解析 依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案 －256◎典题试解本讲结束
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