第二章 推理与证明
§2.1 合情推理与演绎推理
§2.1.1 合情推理
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列关于归纳推理的说法错误的是
A．归纳推理是由一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析 由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.
答案 A
2．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析 观察很容易发现规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 B
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
答案 C
4．下面使用类比推理恰当的是
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 由类比推理的特点可知，C选项正确．
答案 C
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为
A. B.
C. D．无法确定
解析 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.
答案 C
6．(2019·武汉模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年
A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉
解析 天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉，故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______．
解析 利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面．
答案 夹在两平行平面间的平行线段相等
8．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.
答案 1∶8
9．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，…fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 019(x)＝________．
解析 ∵f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…呈周期性出现，∴f2 019(x)＝f4(x)＝－cos x.
答案 －cos x
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)在德国布莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数．
(1)求f(3)的值；
(2)用n表示f(n)．
解析 (1)观察分析知：f(1)＝1，f(2)＝1＋(1＋2)＝4，f(3)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)=10．
(2)f(n)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋…＋n)＝.
11．(12分)若a1，a2∈R＋，则有不等式≥成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
解析 可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：
≥，
≥，
…
≥.
第二类型：≥，
≥，
…
≥.
第三类型：≥，
≥，
…
≥.
12．(13分)已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似的性质，并加以证明．
解析 类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线上，
∴n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
课件40张PPT。第二章 推理与证明§2.1 合情推理与演绎推理 §2.1.1 合情推理 1．了解合情推理的含义．(易混点)
2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比进行简单的推理．(重点、难点)
3．了解合情推理在数学发现中的作用．(难点)归纳推理、类比推理、合情推理
1．归纳推理和类比推理部分对象全部对象个别事实一般结论类似已知特征部分到整体个别到一般特殊到特殊观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 知识点一 归纳推理
【问题1】 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋716＝5＋11
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答案 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)；②其结论不一定正确．【问题2】 归纳推理有何特点？
答案 ①归纳是依据特殊现象推出一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；②归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；③归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础上的．知识点二 类比推理
【问题1】 阅读下面的推理，回答后面提出的问题：
(1)科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：①火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；②有大气层，在一年中也有季节变更；③火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．(2)根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式的性质： 猜想不等式的性质：
①a＝b?a＋c＝b＋c; ①a>b?a＋c>b＋c；
②a＝b?ac＝bc; ②a>b?ac>bc；
③a＝b?a2＝b2等等. ③a>b?a2>b2等等．
这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？猜想正确吗？答案 类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．这种猜想不一定正确．【问题2】 类比推理有什么特点？
答案 ①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以原有认识作基础，类比出新的结果．例如，类比蝴蝶的色彩在花丛中不易被发现而发明了迷彩服．
②类比推理是由一种事物的特殊属性推测另一类事物的特殊属性．
③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现功能．●规律方法
由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．1．由下列各式：
13＝12.
13＋23＝32，
13＋23＋33＝62，
13＋23＋33＋43＝102，
请你归纳出一般结论．题型二 图与形中归纳推理
【例2】 根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．【解析】 解法一 图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…
故猜测第(n)个图形中的圆圈数为
n2－(n－1)＝n2－n＋1.解法二 第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；
第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；
第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；
第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；…
由上述的变化规律，可猜测第(n)个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．●规律方法
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：2．如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图(1)所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图(2)所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图(3)和(4)所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝．解析 5件首饰的珠宝颗数依次为：1，1＋5，1＋5＋9，1＋5＋9＋13，1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
答案 66 2n2－n题型三 类比推理及其应用
【例3】 (12分)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.【规范解答】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2分)
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，所以an＋2＝an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(4分)【典例】 对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是______．易错误区(五) 对归纳推理的特征掌握不准确致误 【答案】 当n＝3时，2n当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[易错防范]
1．本例误区在于只验证n＝1，2，3，不验证n＝4，5，6，….
2．防止以偏概全
在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，对于特殊项要多验证几项，如本例n＝3验证后，再验证n＝4，
n＝5，n＝6，再作猜想，以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断．3．归纳要全面
在进行归纳时，要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合，从而得到更加全面、科学、正确的猜想，如本例中，要注意猜想n＝3，n＝2和4及n≠2，3，4的所有情况．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有________个原子，有________个化学键．解析 由图①知，其有4×1＋2＝6(个)原子，5×1＋1＝6(个)化学键．
由图②知，其有4×2＋2＝10(个)原子，5×2＋1＝11(个)化学键．
由图③知，其有4×3＋2＝14(个)原子，5×3＋1＝16(个)化学键．
…
所以第n个图有(4n＋2)个原子，(5n＋1)个化学键．
答案 4n＋2 5n＋1本课结束
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