§2.1.2 演绎推理
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a证明：
∴a画框格部分是演绎推理的
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
解析 本题应用了三段论．大前提是大角对大边，小前提是∠A<∠B.故选B.
答案 B
2．下面几种推理是演绎推理的是
A．全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则A＝A′
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人
C．由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式
解析 B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
答案 A
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．
答案 A
4“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是
A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误
解析 对于对数函数y＝logax，当a＞1时为增函数，而当0＜a＜1时为减函数，所以大前提错误．
答案 A
5．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析 不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．
答案 C
6．“1＜a＜2”是“对任意的正数x，都有2x＋≥1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当“对任意的正数x，都有2x＋≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈R＋恒成立，
而x－2x2＝－2＋≤，∴a≥.
∵(1，2)?，
∴1＜a＜2是“对任意的正数x，都有2x＋≥1”的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析 大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3，4，5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
答案 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形 是直角三角形
8．如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，①
所以AD＞BD，②
于是∠ACD＞∠BCD.③
则在上面证明过程中错误的是________．(只填序号)
解析 由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
答案 ③
9．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________．
解析 利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，(大前提)
令b＝1，则＝f(1)＝2，(小前提)
∴＝＝…＝＝2，(结论)
∴原式＝＝2 018.
答案 2 018
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)判断下列几个推理是否正确？为什么？
(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
解析 (1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．
11．(12分)已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 由于a，b，c都是正数，所以只需证a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2.
因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，
三式相加，得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①
又因为a2b2＋b2c2≥2＝2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，
三式相加，得a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②
由①②，得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，当且仅当a＝b＝c时取等号．
所以＋＋≥a＋b＋c.
12．(13分)如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，△ADB是等边三角形．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解析 (1)取AB中点E，连接DE，CE.
∵△ADB为等边三角形，∴DE⊥AB.
又∵平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.
由已知可得DE＝AB＝，EC＝1.
∴在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明 ①当D在平面ABC内时，
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C，D都在AB的垂直平分线上，∴CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，∴AB⊥CE.
∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.
∵DC?面DEC，∴AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
课件40张PPT。§2.1.2 演绎推理 [课标要求]
1．理解演绎推理的含义．(重点)
2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理．(重点、难点)
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理的含义及特点某个特殊情况下一般到特殊2.三段论已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理对特
殊情况做出的判断3.合情推理与演绎推理的区别与联系知识点 演绎推理
【问题1】 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；
(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．【问题2】 演绎推理有什么特点？它的结论一定正确吗？
答案 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．
(2)在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．【问题3】 演绎推理一般是怎样的模式？利用“三段论”进行推理容易产生什么错误？
答案 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
利用“三段论”推理容易产生以下几个错误
(1)推理形式错误；(2)大前提错误；(3)小前提错误．【问题4】 合情推理与演绎推理的主要区别是什么？
答案 (1)从推理形式上看：归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)从推理所得的结论来看：合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.题型一 演绎推理的基本形式
【例1】 用三段论的形式写出下列演绎推理：
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．【解析】 (1)因为每一个矩形的对角线相等，大前提
而正方形是矩形，小前提
所以正方形的对角线相等．结论
(2)因为三角函数是周期函数，大前提
而y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论2．分清大前提、小前提和结论的方法
在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述是的大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断．这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．1．试将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
①所有导体通电时都发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
②一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
③等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．解析 ①大前提：所有导体通电时都发热；小前提：铁是导体；
结论：铁通电时发热．
②大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
③大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)；
小前提：数列1，2，3，…，n是等差数列；
结论：数列1，2，3，…n的通项具有an＝pn＋q的形式．题型二 演绎推理在几何问题中的应用
【例2】 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．【证明】 (1)连接AC，
(2)AB＝CD，BC＝AD，CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)
△ABC和△CDA全等．(结论)(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．
这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)
△ABC和△CDA全等；(小前提)
它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)
∠1与∠2，∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC的内错角；(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)●规律方法
1．用三段论证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路．
(2)找出每一个结论得出的原因．
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．三段论中的三个判断
三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论．
第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等；
第二个判断是和大前提有联系的特殊情况，叫做小前提，通常是已知条件或前面证明过程中推理的内容；
第三个判断为结论．
在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式．2．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.证明 (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以，DF∥EA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以，四边形AFDE为平行四边形．(结论)●规律方法
1．用“三段论”证明函数单调性的步骤
(1)找出证明单调性的大前提，如本例中大前提是函数单调性的定义；
(2)证明小前提满足大前提，如本例中证明函数f(x)在(－1，＋∞)上满足增函数的定义；
(3)由大前提，我们能得到在小前提下有何结论．
2．注意事项
当大前提很显然时，一般可以省略不写．【典例】 已知2sin2 α＋sin2 β＝3sin α，则sin2 α＋sin2 β的取值范围是________．易错误区(六) 利用演绎推理时忽略大前提而致误 [易错防范]
1．本例误区在于不求sin α的范围，误认为－1≤sin α≤1.
2．注意大前提的使用
在应用三段论时，为了叙述简洁方便，大前提通常省略不写或写在结论后面的括号内，因此在解题时，一定要注意大前提的使用，如本例，由前提sin2 β∈[0，1]，可求sin α的范围，进而求sin2 α＋sin2 β的范围．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则m的值为________，n的值为________．
解析 ∵f(x)为奇函数且定义域为R，
∴f(0)＝0，即0＋m＋n＝0，
f(－1)＝－f(1)，即－1＋m·2－1＋n＝－(1＋2m＋n)．
解得m＝0，n＝0.
答案 0 0本课结束
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