§2.2 直接证明与间接证明
§2.2.1 综合法和分析法
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知p：ab＞0；q：＋≥2，则
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
解析 ab＞0?a，b同号?＞0且＞0，
∴＋≥2，又＋≥2?≥2?ab＞0.
答案 C
2．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
解析 由ab＞0，得＞0，∴a＋b＋2＞a＋b，
∴(＋)2＞()2?＞，
∴lg＞lg，即m＞n，故选A.
答案 A
3．若＜α＜，则
A．sin α＞cos α＞tan α B．cos α＞tan α＞sin α
C．sin α＞tan α＞cos α D．tan α＞sin α＞cos α
解析 取α＝，则tan α＝，sin α＝，cos α＝，
∴tan α＞sin α＞cos α.
答案 D
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有
A．1≤ab≤ B.＜ab＜1
C.＜ab＜1 D．ab＜1＜
解析 取a＝，b＝，则a＋b＝2，
这时＝＝＞1.
ab＝×＝＜1.
∴ab＜1＜.
答案 D
5．设a，b，c三数成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则＋等于
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵ac＝b2，a＋b＝2x，b＋c＝2y，
∴＋＝＋＝＋
＝＝
＝＝2.
答案 B
6．p＝＋，q＝ ·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为
A．p≥q B．p≤q
C．p＞q D．不确定
解析 q＝≥＝＋＝p，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知a2＋b2＝1，b2＋c2＝2，c2＋a2＝2，则ab＋bc＋ca的最小值为________．
解析 由a2＋b2＝1，b2＋c2＝2，c2＋a2＝2
得a2＝，b2＝，c2＝.
若使ab＋bc＋ac最小，a取，b取，c取－.
此时，原式＝－ － ＝－.
答案 －
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________．
解析 要比较b与c的大小，只需比较＋与＋的大小，只需比较(＋)2与(＋)2的大小，
即比较与的大小，显然＜，
从而－＜－，即b＜c，类似可得a＞c，
∴a＞c＞b.
答案 a＞c＞b
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2，a9成等比数列，则＝________．
解析 由已知a＝a1·a9，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋8d)，
整理，得：d2＝6a1d.
∵d≠0，∴d＝6a1，
∴原式＝＝＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.
证明 要证原式，只需证＋＝3，
即证＋＝1，即只需证
＝1.
而由题意知A＋C＝2B，
∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，
∴＝
＝＝1，
∴原等式成立，即＋＝.
11．(12分)(1)求证：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．
(2)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2a，
b2＋3≥2b，
将此三式相加得2(a2＋b2＋3)
≥2ab＋2a＋2b，
∴a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)(等号当且仅当a＝b＝时取得)．
(2)∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴
＝··
＝··≥2·2·2＝8.
故≥8(等号当且仅当a＝b＝c时取得)．
12．(13分)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，
所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
课件25张PPT。§2.2 直接证明与间接证明 §2.2.1 综合法和分析法 [课标要求]
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．(难点)
2．了解综合法、分析法的思考过程、特点．(重点)
3．会综合运用综合法、分析法解决数学问题．(重点、易混点)已知条件 定义 公理 定理 推理论证 已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 结论出发 充分条件 定理 定义 公理 知识点一 综合法
【问题1】 用综合法证明命题的基本思路是什么？
答案 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从已知条件、公理、定理出发，经过严格的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题．【问题2】 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答案 综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．知识点二 分析法
【问题1】 用分析法证明命题的基本思路是什么？
答案 分析法的基本思路是“执果索因”．由求证走向已知，即从数学题的待征结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件．【问题2】 分析法和综合法各有什么优缺点？
答案 (1)综合法
①优点：条理清晰，易于表述．
②缺点：探路艰难，易生枝节．
③思维过程，原因→结果．(2)分析法
①思维过程：由结果追溯原因，即结果←原因．
②优点：容易探路且探路与表述合一；缺点：表述繁琐且不习惯，容易出错．
③在实际解题时，常常先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．【问题3】 什么是分析综合法？题型一 综合法的应用
【例1】 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.
证明：an＋2＝3an.【证明】 由条件，对任意n∈N*，有
an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
因而对任意n∈N*，n≥2，有
an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.
两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，
即an＋2＝3an，n≥2.
又a1＝1，a2＝2，
所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.
故对一切n∈N*，an＋2＝3an.●规律方法
运用综合法证明命题的特点
(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
(2)如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．●规律方法
(1)应用分析法证明问题的模式(若p则q形式)如下：
为了证明命题q为真，
只需证命题p1为真，从而有……
只需证命题p2为真，从而有……
……
只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为真．
(2)分析法是证明数学问题的重要方法，当条件与结论关系不明显时，可考虑使用分析法．规范解答(八) 分析法与综合法的综合应用 [审题指导] 本课结束
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