§2.2.2 反证法
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
答案 A
2．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是
A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角
解析 “最多有一个”的反设是“至少有两个”．
答案 C
3．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则
A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
解析 易知直线a，l共面且b，l共面，
假设a，b都不与l相交，则a∥l，且b∥l，
∴a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，
故a，b至少有一条与直线l相交，故选B.
答案 B
4．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：
①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；
③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)④若f(a)＋f(b)其中真命题的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)答案 D
5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析 因为正弦值在(0，π)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．
假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，
所以∠A1＝90°－∠A2.
同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，
则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，
即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立．故选D.
答案 D
6．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1，(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是
A．0 B．1
C．2 D．无穷多
解析 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n，使得an＝bn，但若a＞b，n∈N＋，恒有a·n＞b·n，从而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．
解析 “a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案 a，b不全为0
8．用反证法证明：“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个角是直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．
解析 由反证法的证题步骤：“反设—归谬—结论”可知上述步骤的正确顺序为③①②.
答案 ③①②
9．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________．
解析 必要性显然成立；“PQR＞0”包括P，Q，R同时大于零或其中有两个为负两种情况．假设P，Q分别小于零，则2b＜0，这与b为正实数矛盾，同理，P，R同时小于零或Q，R小于零的情况亦得到矛盾，故P，Q，R同时大于零．
答案 充分必要条件
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．
证明 假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2至少有一个成立．
11．(12分)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
证明 假设a＜0，由abc＞0得bc＜0，
由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，
于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知矛盾．
又若a＝0，则abc＝0，与abc＞0矛盾，故a＞0，
同理可证b＞0，c＞0.
12．(13分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，
且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得：
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
∴a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
课件31张PPT。§2.2.2 反证法 [课标要求]
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(难点)
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、易错点)1．反证法
假设原命题___________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明____________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．不成立假设错误原命题成立2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________________________________矛盾等．已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义知识点 反证法
【问题1】 反证法的一般模式是什么？
答案 使用反证法证明命题一般有以下三步：
(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论，(3)判定该结论与事实(或定义、公理、定理等)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．【问题2】 应用反证法证明命题时有哪些常见的“结论词”与“反设词”？
答案 应用反证法证明命题时，常见的“结论词”与“反设词”【问题3】 反证法主要运用于哪些命题的证明？
答案 宜用反证法的命题
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．
(2)如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面证明，只有一种或很少的几种情况．
(3)否定性命题，唯一性命题，含有“至多、至少”等字眼的存在性命题.●规律方法
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法的证题步骤
第一步：分清命题的条件和结论；
第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；
第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不成立，于是原结论成立，从而间接地证明了原命题成立．
特别提醒：反证法的书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．1．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．题型二 用反证法证明唯一性命题
【例2】 若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续，且f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图像连续，
且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；
若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．●规律方法
用反证法证明唯一性命题的关注点
(1)当证明结论是以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法．如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
解析 已知：点P在直线a外．
求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条．
证明：∵点P在直线a外，
∴点P和直线a确定一个平面，
设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，
使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条直线c与a平行，
∵a∥b，a∥c，
∴b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立．
即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．题型三 用反证法证明存在性问题
【例3】 已知a≥－1，求证三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．●规律方法
当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．规范解答(九) 反证法在证明问题中的应用 [审题指导] 本课结束
请按ESC键返回
