§2.3 数学归纳法
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证
A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4
解析 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
答案 C
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析 因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
答案 B
3．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析 反证法．若n＝4时成立，则n＝4＋1也成立，与已知矛盾，故n＝4不成立．
答案 C
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞(n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为
A．增加
B．增加＋
C．增加＋，减少
D．增加，减少
答案 C
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出{an}的通项表达式为
A. B.
C. D.
解析 a1＝2，a2＝，a3＝，
a4＝，…，可推测an＝，故选B.
答案 B
6．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．
解析 注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案 ＋＋
8．已知Sn＝＋＋＋…＋，依次计算出S1，S2，S3，S4后可猜想Sn的表达式为________．
解析 S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，猜想Sn＝.
答案
9．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．
解析 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案 未用归纳假设
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)证明：＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－＝右边．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
11．(12分)求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)．
证明 (1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝＞，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即
＋＋…＋＞.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＞＋
＞＋＝.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)、(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立．
12．(13分)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
解析 (1)Y6＝{1，2，3，4，5，6}，S6中的元素(a，b)满足：
若a＝1，则b＝1，2，3，4，5，6；若a＝2，则b＝1，2，4，6；若a＝3，则b＝1，3，6.
所以f(6)＝13.
(2)当n≥6时，
f(n)＝(t∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．
②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．
课件27张PPT。§2.3 数学归纳法 [课标要求]
1．了解数学归纳法的原理．(难点)
2．能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点、易错点)一、数学归纳法
1．数学归纳法的步骤
(1)归纳奠基：证明当n取___________________时命题成立．
(2)归纳递推：假设____________________时命题成立，证明当____________时命题也成立．第一个值n0(n0∈N＋)n＝k(k≥n0，k∈N＋)n＝k＋12．数学归纳法的框图表示：n=n0 n=k+1正整数二、归纳、猜想与证明
从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的______，然后从理论上_____(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳—猜想—证明”．
这类问题涉及的知识很广泛，可以函盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，解题一般分三步进行：
①验证p(1)，p(2)，p(3)，p(4)，…；
②提出猜想；
③用数学归纳法证明．猜想证明知识点 数学归纳法
【问题】 阅读教材，试述如何正确运用数学归纳法？
答案 用数学归纳法证明的关键在于“两个步骤要做到递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下三点：(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．
(2)递推乃关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)正确寻求递推关系
我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？
①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．
②要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．
③在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚.●规律方法
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝1时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．题型二 用数学归纳法证明整除问题
【例2】 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．【证明】 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假设n＝k(k∈N＋)时，f(k)能被36整除，
即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．
由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．●规律方法
用数学归纳法证明整除问题的策略
证明整除性问题的关键是“凑项”，即从f(k＋1)的式子中“凑”出f(k)的形式，常采用“拆项”、“增项”、“减项”和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)，另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．2．求证：对任意n∈N＋，x2n－1＋y2n－1都能被x＋y整除．
证明 (1)当n＝1时，x2×1－1＋y2×1－1＝x＋y，能被x＋y整除，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，
则当n＝k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2k＋1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x2－y2)y2k－1，
由归纳假设知x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，而x2－y2也能被x＋y整除，所以x2k＋1＋y2k＋1能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)和(2)知，命题对任意n∈N＋都成立．规范解答(十) 数学归纳法在证明不等式中的应用 [审题指导] 本课结束
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