第三章 数系的扩充与复数的引入
§3.1 数系的扩充和复数的概念
§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列各数中，纯虚数的个数是
3＋，i，0i，8＋3i，(2＋)i，0.618
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 根据纯虚数的定义知，i，(2＋)i是纯虚数．
答案 C
2．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析 3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，
∴所求复数为3－3i.
答案 A
3．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
答案 A
4．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应的关系．
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①中只有当a∈R，b∈R，且a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝0，z3＝i，则(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z1≠z2≠z3，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．
答案 A
5．复数z＝－i的实部与虚部互为相反数，则实数b等于
A. B.
C．2 D．－
解析 由b∈R，知复数z的实部为，虚部为－，
∴＝，解得b＝－，故选D.
答案 D
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析 ∵z为实数，∴|a|＋a＝0，∴|a|＝－a，
∴a≤0.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．复数i2＋1的虚部是________．
答案 0
8．设(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2的值________．
解析 ∵(a－2i)i＝b－i，∴，∴a2＋b2＝5.
答案 5
9．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________．
解析 ∵x是实数，y是纯虚数，
∴由复数相等得2x－1＝0且y＝2i，
故x＝，y＝2i.
答案 2i
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析 ∵M∪P＝P，∴M?P.
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解之得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
11．(12分)已知复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)．求证：复数z不可能是纯虚数．
证明 (反证法)假设z是纯虚数，
则有
由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.
当x＝－1时，log2(x－3)无意义；
当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)≠0矛盾．
故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数．
12．(13分)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x、y的值．
解析 由定义运算＝ad－bc可得
＝3x＋2y＋yi，
∴(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi.
由复数相等的充要条件得
解得
课件31张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 [课标要求]
1．了解数系扩充的必要性及其过程．
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点、难点)
3．掌握复数的表示法及有关概念．(重点)
4．掌握复数的分类及复数相等的充要条件的应用．(重点)复数概念、代数表示法、复数相等
1．虚数单位i
在实数集R中添加新数i，叫_________．并且规定：
①它的平方等于______，即i2＝______．
②实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，加法和乘法都满足_______律、______律，以及乘法对加法满足_______律．虚数单位－1－1交换结合分配2．复数和复数集
复数：形如________________的数叫做复数．
复数集：数集{a＋bi|a，b∈R}为复数集，即复数的全体为复数集，用C表示．
3．复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_______与_______．a＋bi(a，b∈R)实部虚部5．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di? _______________．a＝c且b＝d知识点一 复数的概念
【问题1】 阅读教材，谈一谈你对虚数单位i的理解．
答案 (1)i2＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.【问题2】 如何理解复数的代数形式a＋bi?
答案 复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)
(1)要求a，b必须是实数，否则不是代数形式．
(2)若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
(3)注意形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数，否则不是纯虚数．知识点二 两个复数相等
【问题1】 两个复数能否比较大小？
答案 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
【问题2】 两个复数相等的充要条件是什么？
答案 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．题型一 复数的有关概念
【例1】 下列命题中，正确命题的个数是
①复数－3i＋5的实部是－3，虚部5；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
③若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
④若x，y∈C，x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3【解析】 ①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5的实部是5，虚部是－3.①是假命题．②由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③由于两个虚数不能比较大小，∴③是假命题．④当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴④是假命题，故选A.
【答案】 A●规律方法
在理解概念时，一定要抓住概念的本质，尤其是应该满足的条件．利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法．本例重点考查了复数的实部和虚部的概念．1．(1)若复数z＝3＋bi>0(b∈R)，则
A．b>0 B．b＝0
C．b<0 D．以上都不正确
(2)给出下列三个命题：
①1＋i2＝0；
②若z∈C，则z2≥0；
③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等．
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3解析 (1)由z>0知z为实数，故b＝0.
(2)对于①，∵i2＝－1，∴1＋i2＝0，故①正确；
对于②，∵z∈C，∴z2∈C，
∴z2可能为虚数，故②错误；
对于③复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，故③错误．
答案 (1)B (2)B●规律方法
利用复数相等进行解题的技巧
(1)利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．
(2)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R.忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．2．若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．●规律方法
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0时复数z是实数，②b≠0时复数z是虚数，③a＝0，b≠0时复数z是纯虚数．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都要有意义．
(2)特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，应先化为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解．3．(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是
A．－1 B．1
C．±1 D．－1或－2
(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．答案 (1)B (2)±1易错误区(七) 忽视隐含条件而致误 【答案】 D[易错防范]
1．本例常见误区为忽视隐含条件，如①分母不为0，②被开方数不小于0等．
2．弄清复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类的充要条件
要牢记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数、虚数或纯虚数的充要条件，并且注意一些隐含因素及条件对解题的影响，找出所有满足要求的题目条件进行求解．如本例中m＋2≠0，m2－m>0.答案 C本课结束
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