§3.1.2 复数的几何意义
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列命题中①任意两个确定的复数都不能比较大小
②若|z|≤1，则－1≤z≤1
③若z＋z＝0，则z1＝z2＝0
④设z＝a＋bi(a，b∈R)，若z＝0，则a＝b＝0
其中，正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①，②，③是错误的．④是正确的．
答案 B
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析 因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
答案 D
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是
A．－1＜a＜1 B．a＞1
C．a＞0 D．a＜－1或a＞1
解析 ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴＜，∴－1＜a＜1.
答案 A
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为
A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i
C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i
解析 ∵表示复数1＋i，∴点A(1，1)．
将向右平移一个单位，则对应1＋i，A′(2，1)，
∴点A′对应复数2＋i.
答案 C
5．向量对应的复数为z＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，则|＋|为
A. B.
C．2 D.
解析 ＝(－3，2)，＝(1，－1)，
∴＋＝(－2，1)，∴|＋|＝ ＝.
答案 A
6．若复数z＝(x2－2x)＋(x2－x)i对应的点位于第二象限，则实数x的取值范围是
A．(0，2) B．(1，2)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析 复数z的实部为x2－2x，虚部为x2－x，若复数z对应的点位于第二象限，
则实数x应满足条件
解之得1答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析 ∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3，4)，∴点C的坐标为(3，4)，
∴向量对应的复数为3＋4i.
答案 3＋4i
8．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．
解析 设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，
由已知可得＝，从而可得a＝5.
答案 5
9．复数z1＝1－i，|z2|＝3，那么|z1－z2|的最大值是______．
解析 ∵|z2|＝3，∴z2所对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径长为3的圆，又z1对应的点为(1，－1)．
如图所示，
所以|z1－z2|的最大值为3＋ ＝3＋.
答案 3＋
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解析 (1)因为A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.所以，，对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)，所以＝－＝(1，1)，＝－＝(－2，2)，＝－＝(－3，1)，
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)||＝，||＝2，||＝，
||2＋||2＝||2，所以△ABC为直角三角形．
11．(12分)已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解析 由于a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数．
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y＝－x＋2(x≥3)．
12．(13分)设复数z＝a＋3＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a＋3，b)对应，当a，b满足什么条件时，点Z位于：
(1)实轴上；(2)虚轴上(原点除外)；(3)实轴的下方(不包括实轴)；(4)虚轴的右侧(不包括虚轴)?
解析 (1)点Z位于实轴上，即复数z＝a＋3＋bi为实数，此时a＋3∈R，b＝0，即a∈R，b＝0；
(2)点Z位于虚轴上(原点除外)，即复数z＝a＋3＋bi为纯虚数，此时a＋3＝0，b≠0，即a＝－3，且b≠0；
(3)点Z位于实轴的下方(不包括实轴)，即复数z＝a＋3＋bi的虚部小于零，实部是全体实数，此时a＋3∈R，b＜0，即a∈R，b＜0；
(4)点Z位于虚轴的右侧(不包括虚轴)，即复数z＝a＋3＋bi的实部大于零，虚部是全体实数，此时a＋3＞0，b∈R，即a＞－3，b∈R.
课件31张PPT。§3.1.2 复数的几何意义 [课标要求]
1．了解复数的几何意义．(难点)
2．理解复数的模的概念，会求复数的模．(重点、易错点)复数的几何意义
1．复平面
建立了直角坐标系来表示________的平面叫做复平面，______叫做实轴，_______叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示_______；除了_______外，虚轴上的点都表示_____________．复数x轴y轴实数原点纯虚数所有的点 向量 |z| |a＋bi| 知识点一 复数与复平面内的点
【问题1】 我们知道，实数与数轴上的点之间是一一对应关系，那么，复数和复平面内的点之间有什么关系呢？
答案 任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．【问题2】 判断正误，并说明理由
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上
(2)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(3)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(4)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
(5)在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
理由如下：
根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2，0)表示实数2，因此(1)(3)是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0，5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以(2)是真命题；(4)是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi(a，b∈R)，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故(5)是假命题．知识点二 复数与平面向量
【问题1】 复数与平面向量有怎样的对应关系？
答案 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．【问题2】 什么是复数的模？它有什么意义？题型一 复数与复平面内的点的对应关系
【例1】 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．●规律方法
在复平面内有关复数所对应点问题的解题步骤
(1)把复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)确定复数对应的点(a，b)；
(3)由题意列出a、b满足的关系式组成方程(组)或不等式(组)；
(4)解方程(组)或不等式(组)求参数取值(范围)．1．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？
(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上．【答案】 (1)C (2)－6－8i●规律方法
复数的几何意义包含两种情况
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．2．在复平面上，复数i，1，4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．●规律方法
复数的模的意义
(1)复数z＝x＋yi(x，y∈R)对应的图形问题，可以依据复数的几何意义来确定，也可以进一步转化为f(x，y)＝0，依据解析几何的有关知识来确定．3．设复数z满足下列条件，求z对应的点的集合构成的图形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|＜3.
解析 (1)∵|z|＝2，∴点Z到原点的距离为2，故满足|z|＝2的复数对应的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆(x2＋y2＝4)．
(2)满足1≤|z|＜3的复数对应的点的集合是以原点为圆心，分别以1，3为半径的两个同心圆围成的圆环(包括内边界，不包括外边界)，如图．【典例】 复数z＝icos θ，θ∈[0，2π)的几何表示是
A．虚轴
B．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0，1)，(0，－1)
C．虚轴除去原点
D．B选项中线段PQ，但应除去原点易错误区(八) 对复数的几何意义理解不到位致误 【答案】 B[易错防范]
1．本例常见误区为易忽视虚部cos θ的取值范围．
2．注意题设条件的提取
数学是严谨的，每个条件都有其独特的作用．如本例中“θ∈[0，2π)”，其决定了线段PQ的长度．
3．注意复数的几何意义及有关概念
复数的形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z对应的点在虚轴上，如本例中复数z＝icos θ，即为a＝0时的特殊情形．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限答案 D本课结束
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