§3.2 复数代数形式的四则运算
§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
解析 z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案 B
2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，
∴对应的点在第二象限．
答案 B
3．设z1＝2＋bi(b∈R)，z2＝a＋i(a∈R)，若z1＋z2＝0，则a＋bi＝
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
解析 ∵z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i＝0，
∴a＝－2，b＝－1，∴a＋bi＝－2－i，故选D.
答案 D
4．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为
A．－8＋6i B．8－6i
C．8＋6i D．－2－2i
解析 ∵＝－，
∴对应的复数为：
z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i
＝8－6i.
答案 B
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案 B
6．复数z1＝3－4xi，z2＝x＋3i，x∈R，复数z1－z2对应的点在第三象限，则x的取值范围是
A．(3，＋∞) B.
C. D.
解析 z1－z2＝3－4xi－(x＋3i)
＝(3－x)＋(－4x－3)i.
由题意
解之得：x>3.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m＝________．
解析 ∵z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2m)i是纯虚数，
∴
由①得m＝，m＝－1，代入②，m＝－1不合题意，舍去．
故m＝.
答案
8．在复平面内O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么对应的复数为________．
解析 ＝－(－＋)，
所以对应的复数为
－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
答案 4－4i
9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||等于________．
解析 ∵＝－，∴向量对应的复数为－1＋i.
∵＝－，∴向量对应的复数为3＋2i.
又＝＋，
∴向量对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴||＝|2＋3i|＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解析 z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
11．(12分)已知2z＋|z|＝2＋6i，求z.
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知方程得2(x＋yi)＋＝2＋6i，即2x＋＋2yi＝2＋6i.由复数相等的定义得解得x＝，y＝3，所以z＝＋3i.
又∵x＜1，∴x＝，∴z＝＋3i
12．(13分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
求：(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解析 (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝＝，
∴S＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
课件33张PPT。§3.2 复数代数形式的四则运算 §3.2.1 复数代数形式的加、
减运算及其几何意义 [课标要求]
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)
2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(难点、易错点)一、复数的加、减法则
1．复数的加法与减法法则
两个复数相加(减)，就是把____________________、______________________________，即(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；(a＋bi)－(c＋di)＝_____________．(其中a，b，c，d∈R)实部与实部虚部与虚部分别相加(减)(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点一 复数的加、减法则
【问题】 你是如何理解复数的加法的？
答案 (1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．
(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．
(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．
(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．
(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．知识点二 复数加、减法的几何意义
【问题】 谈谈你对复数加、减法几何意义的理解？
答案 对复数加、减法几何意义的理解
(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．
(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．
(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．
(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．题型一 复数的加、减运算
【例1】 (1)已知|z|＝4且z＋2i是实数，则复数z＝________．
(2)计算：
①(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
②5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)；
④(5－6i)＋(－2＋4i)－(3＋4i)．●规律方法
复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
(3)算式中出现字母时，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减．1．(1)计算：
①(－1＋5i)＋(2－3i)；
②(1＋3i)－(－2－5i)；
③(2＋3i)＋(－1－i)－(－3＋4i)．
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.解析 (1)①(－1＋5i)＋(2－3i)
＝(－1＋2)＋(5－3)i＝1＋2i.
②(1＋3i)－(－2－5i)
＝[1－(－2)]＋[3－(－5)]i＝3＋8i.
③(2＋3i)＋(－1－i)－(－3＋4i)
＝[2－1－(－3)]＋[3＋(－1)－4]i＝4－2i.●规律方法
(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
(2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．题型三 复数加、减运算的几何意义的应用
【例3】 (12分)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.●规律方法
(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【典例】 设x∈[0，2π)，复数z1＝cos x＋isin x对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是________．易错误区(九) 复数运算中思维不严谨而致误 (2)注意隐含条件的挖掘
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的几何意义，已知点的坐标所在位置，可得a，b的取值范围．本例中根据z1对应的点的位置可列不等式，得到x的取值范围．
(3)知识的综合应用
要善于综合应用高中数学的各种数学知识，建立知识网络，清楚知识间的相互联系．如本例中求复数的模的取值范围，利用了三角函数中的三角恒等变换及三角函数值的有界性等．在复平面内，若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是
A．(0，3) B．(－2，0)
C．(3，4) D．(－10，2)答案 C本课结束
请按ESC键返回
