§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．?
解析 先化简集合A，再求A∩B.
∵A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}，
∴A∩B＝{－1，1}．
答案 C
2．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
解析 由z(1＋i)＝2i，
得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
答案 D
3．(2018·浙江)复数(i为虚数单位)的共轭复数是
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.
答案 B
4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
答案 D
5．若a为实数，且＝3＋i，则a＝
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析 ∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，
∴a＝4，故选D.
答案 D
6．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是
A．ad－bc＝0 B．ac－bd＝0
C．ac＋bd＝0 D．ad＋bc＝0
解析 由复数的乘法可知，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i为实数，即ad＋bc＝0.故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．
解析 根据复数的模和复数的乘法解决．
∵|a＋bi|＝ ＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案 3
8．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________．
解析 由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数．
由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，
因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，
故a＋bi＝1＋2i.
答案 1＋2i
9．设f(z)＝，则f(1－i)＝________．
解析 f(1－i)＝
＝＝
＝＝＝.
答案 －i
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求z；若不存在，说明理由．
解析 设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝＋i.
∵z＋是实数，z＋3的实部与虚部互为相反数，
∴
由①∵y≠0，∴x2＋y2＝5.③
由②y＝－x－3代入③得
x2＋(x＋3)2＝5.∴x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2.
故或
所以存在z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
11．(12分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z.
解析 解法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
则有＝5，①
故(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.
又∵(3＋4i)z是纯虚数，
∴得b＝a，
代入①，得a2＋＝25，∴a＝±4.
∴或
故＝4－3i，或＝－4＋3i.
解法二 令(3＋4i)z＝ki(k∈R且k≠0)，两边取模，
得5|z|＝|k|.
∵|z|＝5，∴k＝±25.
∴当k＝25时，z＝＝4＋3i；
当k＝－25时，z＝－4－3i.
∴＝4－3i，或＝－4＋3i.
12．(13分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
解析 z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.
课件29张PPT。§3.2.2 复数代数形式的乘除运算 [课标要求]
1．掌握复数代数形式的乘除运算．(重点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)
3．理解共轭复数的概念及i的幂的周期性．(重点、易错点)(ac－bd)＋(ad＋bc)i 2．复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律：
交换律：z1·z2＝z2·z1；
结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.a－bi 知识点一 复数的乘除运算
【问题】 谈谈你对复数代数形式的乘除运算法则的认识？
答案 对复数代数形式的乘除运算法则的认识
(1)当复数的虚部为零时，与实数的乘除法则一致；
(2)实数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立；
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数；
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算．知识点二 共轭复数
【问题】 你能探讨互为共轭复数的一些性质吗？【答案】 (1)A (2)D (3)D (4)B答案 (1)D (2)D (3)A (4)B【答案】 (1)A (2)A●规律方法
共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征：实部相等，虚部互为相反数．答案 (1)A (2)D规范解答(十一) 复数的运算与几何意义的综合应用 [审题指导] 本课结束
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