课件49张PPT。章末整合提升专题一 归纳推理的应用技巧和步骤
1．常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类，常用技巧如下：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．2．运用归纳推理时的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．…
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝______．【答案】 1 000专题二 类比推理的应用技巧及步骤
1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
2．类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性和一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)类比推理的关键是找到合适的类比对象，例如，平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．3．平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：【例2】 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，请在立体几何中给出类比猜想，并证明你的猜想．专题三 直接证明的应用规律
实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击找到沟通已知条件和结论的桥梁，常用规律有：1．定义明确的问题，已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型，适合用综合法证明．
2．当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．【证明】 如右图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.专题四 反证法的应用规律
反证法体现了正难则反的思维方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，它的应用规律有：
(1)否定性命题；
(2)命题成立非常明显，直接证明所用理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；
(3)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语；
(4)要讨论的情况复杂，而反面情况很少．专题五 数学归纳法的应用
由k到k＋1的证明中寻找由k到k＋1的变化规律是难点，突破难点的关键是掌握由k到k＋1的证明方法．在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k＋1)的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩等方法，或从P(k)出发拼凑P(k＋1)，或从P(k＋1)中分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察——归纳——猜想——证明”这一特殊到一般的推理方法．一、选择题
1．结论为：xn＋yn能被x＋y整除．令n＝1，2，3，4，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为
A．n∈N* B．n∈N*且n≥3
C．n为正奇数 D．n为正偶数解析 当n＝1时，x＋y显然能被x＋y整除，
当n＝2时，x2＋y2不能被x＋y整除．
当n＝3时，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)能被x＋y整除．
当n＝4时，x4＋y4不能被x＋y整除．
综上可知n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
答案 C2．在△ABC中，sin Asin C>cos Acos C，则△ABC一定是
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析 由sin Asin C>cos Acos C，可得cos(A＋C)<0，即cos B>0，所以B为锐角，但并不能判断A，C的度数，故选D.
答案 D3．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
答案 B4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
解析 “至多有两个解”即不超过两个解，故其否定为“至少有三个解”．
答案 C答案 C解析 n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
答案 B二、填空题
7．所有9的倍数都是3的倍数，27是9的倍数，所以27是3的倍数．
大前提：所有9的倍数都是3的倍数．
小前提：______________________________________
_____________________________________________.
结论：所以27是3的倍数．
解析 根据“三段论”的形式，小前提为27是9的倍数．
答案 27是9的倍数8．设函数f(x)对任意的x∈R，y∈R都满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)＋2，且f(1)＝2，则f(n)＝________(n∈N＋)．答案 2n＋1－2第二章
(限时120分钟；满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
解析 由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，∵f(x)＝x2时，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函数”是利用演绎推理．
答案 C
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析 大前提错误，小前提正确，故选C.
答案 C
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
答案 C
4．用反证法证明：若a≥b>0，则＋2－a≤＋2－b的假设为
A.＋2－a<＋2－b B.＋2－a≥＋2－b
C.＋2－a>＋2－b D.＋2－a≤＋2－b
解析 易知“≤”的否定为“>”，故选C.
答案 C
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝
A．28 B．76
C．123 D．199
解析 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
答案 C
6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
解析 n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.
答案 D
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)，可归纳猜想出Sn的表达式为
A. B.
C. D.
解析 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
答案 A
8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析 观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
答案 D
9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又∵a2＋b2＋c2≥0，∴ab＋bc＋ca≤0.
答案 D
10．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解析 ∵a(a＋5)＜(a＋3)(a＋2)，
∴＜，
∴2a＋5＋＜2a＋5＋，
即(＋)2＜(＋)2，
即P2＜Q2，∴P＜Q成立．
答案 C
11．(2019·北京)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．②
C．①② D．①②③
解析 由x2＋y2＝1＋|x|y，
当x＝0时，y＝±1；
当y＝0时，x＝±1；
当y＝1时，x＝0或x＝±1.
故曲线C恰好经过6个整点：A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，1)，E(－1，0)，F(－1，1)，
所以①正确．
由基本不等式，当y＞0时，
x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，
所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正确．
如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，
所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．
答案 C
12．把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，…，则第104个括号内各数之和为
A．2 036 B．2 048
C．2 060 D．2 072
解析 从第1个括号到第104个括号，总共有26个循环，每个循环共有1＋2＋3＋4＝10个数字，
∴从第一个括号到第104个括号共有260个数字，
第104个括号内各数之和为：
(2×257＋1)＋(2×258＋1)＋(2×259＋1)＋(2×260＋1)＝2 072.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有________个小正方形．
解析 第1个图中有3个小正方形，第2个有3＋3＝6个小正方形，第3个有6＋4＝10个小正方形，第4个图形有10＋5＝15个小正方形，第5个图形有15＋6＝21个正方形，第6个图形有21＋7＝28个正方形．
答案 28
14．观察分析下表中的数据：
多面体
面积(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析 观察分析、归纳推理．
观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
答案 F＋V－E＝2
15．若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝，则a＋(b*c)用含有运算符号“*”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析 a＋(b*c)＝a＋＝＝＝(a＋b)*(a＋c)．
答案 (a＋b)*(a＋c)
16．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______(填序号)．
解析 若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案 ③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：＋是无理数．
证明 假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a，b为有理数且＋为有理数，
∴即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
18．(12分)已知a，b，c是不全相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.
证明 ∵a，b，c是不全相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋＝ ＋＋
<＋＋＝＋＋.
故＋＋<＋＋.
19．(12分)观察下表
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
解析 (1)由表知，每行的第一个数为偶数(第一行除外)，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
20．(12分)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论．
解析 当n＝1，n＝2，n＝3时都有2n＋2＞n2成立，
所以猜想2n＋2＞n2成立．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
左边＞右边．
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边＞右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，
右边＝32＝9，
所以左边＞右边．
②假设n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＋2＞k2.
那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2·k2－2.
又因2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
所以2k＋1＋2＞(k＋1)2成立．
根据①和②，原不等式对于任意n∈N＋都成立．
21．(12分)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
证明 (1)证法一 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则O为CD的中点．
又H为BC的中点，
所以OH∥BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
证法二 在三棱台DEF－ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，
可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.
又∵BE?平面EFG，HF?平面EFG，
∴HF∥平面ABED.
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH∥AB.AB?平面EFG，GH?平面EFG，
∴GH∥平面ABED.
又GH∩HF＝H，
所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.
(2)如图，连接HE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.
又CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.
22．(12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1，2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an（不需证明）；
(3)若存在不等于零的常数p，使是等比数列，求出公比q的值．
解析 (1)证明 假设an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
从而an＝an－1＝…＝a1＝0或1，
与题设a1>0，a1≠1矛盾．
∴假设错误，故an＋1≠an.
(2)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，an＝.
(3)∵＝，又＝·q，
∴(2＋p－2q)an＋p(1－2q)＝0.
∵上式是关于变量an的恒等式，
∴∴q＝.
