课件32张PPT。章末整合提升专题一 复数的有关概念
1．复数分类的应用技巧
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则【例1】 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
(2)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．【答案】 (1)D (2)A (3)－2i专题三 利用复数相等解决问题
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个数a＋bi、c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi、c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.(2)如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则不能比较大小．
(3)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．专题四 复数的几何意义
复数与平面内的点、向量一一对应，复数模的几何意义，加、减法的几何意义都为我们应用数形结合思想解决复数问题提供了条件．数形结合可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，直观化．【例4】 已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．一、选择题
1．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝
A．3＋3i B．－1＋3i
C．3＋i D．－1＋i
解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.
答案 C2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i答案 C3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为
A．1 B．2
C．1或2 D．－1答案 B4．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析 ∵(a＋i)i＝b＋i，∴－1＋ai＝b＋i，再根据复数相等的条件得到a＝1，b＝－1.
答案 C5．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，
即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上．
答案 B答案 D答案 i8．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i，a，b∈R，则实数对(a，b) 为________．答案 (－3，4)9．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．三、解答题
10．设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，m∈R，当m为何值时，z分别是：(1)实数；(2)纯虚数？第三章
(限时120分钟；满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.
答案 C
2．已知复数z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z2＝
A．2 B．2i
C．2＋4i D．2－4i
解析 ∵z＝1－i，∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝2.
答案 A
3．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是
A. B.
C. D.
解析 ∵z2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴.
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．令k＝0知D正确．
答案 D
4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝
A．0 B.
C．1 D.
解析 通解 因为z＝＋2i＝＋2i＝
－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.
优解 因为z＝＋2i＝＝，
所以|z|＝＝＝＝1，故选C.
答案 C
5．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析 复数6＋5i对应A点坐标为(6，5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2，3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2，4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
答案 C
6．已知a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虚数单位)，则a＋b＝
A. B．2
C．2 D．4
解析 由题意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，则，又a>0，b>0，所以a＝b＝2，则a＋b＝4.
答案 D
7．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝＝.不存在m∈R，使m－4>0且m＋1<0，即z的实部和虚部不能同时为正．故选A.
答案 A
8．已知0
A．(1，5) B．(1，3)
C．(1，) D．(1，)
解析 由于复数z的实部为a，虚部为1，且0答案 C
9．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
解析 ∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
∴∴
∴z＝2－2i.故选A.
答案 A
10．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析 结合复数的模，共轭复数及复数的运算等判断求解．
A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；
B，z1＝2?1＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
答案 D
11．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是
A．一个圆 B．线段
C．两个点 D．两个圆
解析 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.
∵|z|＋1＞0，∴|z|－3＝0，即|z|＝3，
∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.
答案 A
12．若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的位置关系为
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不能确定
解析 ∵a＋bi＝＝＝＋i，
∴，则a2＋b2＝>2.∴点(a，b)在圆x2＋y2＝2外．
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析 复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.
答案 2
14．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．
解析 由m(1＋i)＝1＋ni，得m＝n＝1，所以＝＝i2 018＝i2＝－1.
答案 －1
15．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1，2)，则复数m＋pi(i为虚数单位)在复平面内所对应的点位于第________象限．
解析 ∵mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1，2)，∴m<0，又＝－2，∴p>0.故复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第二象限．
答案 二
16．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，其中i是虚数单位，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若＝x＋y，其中O为坐标原点，则x＋y的值是________．
解析 由题意知，z1，z2，z3在复平面内对应的点的坐标分别为A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∴＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)．∵＝x＋y，∴.
解得，则x＋y＝5.
答案 5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：(1)；
(2)＋；
(3)＋.
解析 (1)原式＝
＝
＝
＝＝
＝－1＋i.
(2)原式＝＋
＝i＋＝i＋i1 009
＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i.
(3)原式＝＋
＝i6＋＝－1＋i.
18．(12分)已知复数z＝，是z的共轭复数，求z·的值．
解析 z＝＝
＝－·
＝－(＋i)(1－i)＝－(－i)，
z·＝·＝.
19．(12分)已知关于t的方程t2－2t＋a＝0的一个根为1＋i(a∈R)．
(1)求方程的另一个根及实数a的值；
(2)若x＋≥m2－3m＋6在x∈(0，＋∞)上恒成立，试求实数m的取值范围．
解析 (1)设t1，t2为方程的两个根，
∵t1＋t2＝2，∴方程的另一个根为1－i，
∴a＝(1＋i)(1－i)＝4.
(2)由x＋≥m2－3m＋6对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴(x＋)min≥m2－3m＋6，即4≥m2－3m＋6.
∴m2－3m＋2≤0?m∈[1，2]．
20．(12分)已知z＝1＋i.
(1)如果ω＝z2＋3－4，求ω的值；
(2)如果＝1－i，求实数a，b的值．
解析 (1)∵z＝1＋i，
∴ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)由＝1－i，z＝1＋i得
＝1－i，
∴＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
∴解得
21．(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解析 设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
22．(12分)已知z1＝x＋yi，1是z1的共轭复数(x，y∈R)且x2＋y2＝1，z2＝(3＋4i)z1＋(3－4i)1.
(1)求证：z2∈R；
(2)求z2的最大值和最小值．
解析 (1)证明 ∵z1＝x＋yi，1＝x－yi(x，y∈R)，
∴z1＋1＝2x，z1－1＝2yi.
∴z2＝(3＋4i)z1＋(3－4i)1＝3(z1＋1)＋4i(z1－1)
＝6x＋8yi2＝6x－8y∈R.
(2)∵x2＋y2＝1，
设u＝6x－8y，代入x2＋y2＝1消去y，得
64x2＋(6x－u)2＝64，
∴100x2－12ux＋u2－64＝0.
∵x∈R，∴Δ≥0，
∴144u2－4×100(u2－64)≥0，
∴u2－100≤0，∴－10≤u≤10，
∴z2的最大值为10，最小值为－10.
