§1.2 导数的计算
§1.2.1 几个常用函数的导数
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列结论不正确的是
A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝，则y′＝ D．若y＝x，则y′＝1
解析 对于A，常数的导数为零，故A正确；
对于B，y′＝(x)′＝－x＝－，故B错误；
对于C，y′＝(x)′＝x＝，故C正确；
对于D，y′＝x′＝1，故D正确．
答案 B
2．已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
解析 ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，
切点有两个，即可得切线有两条．
答案 B
3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为
A．1 B．2
C．e D.
解析 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，
可得k＝y′|＝e0＝1.
答案 A
4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析 由题意，得y′＝3x2－2，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1.
由直线的点斜式方程，得切线方程为y＝x－1.
答案 A
5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析 通解 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1.所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
优解一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
优解二 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
答案 D
6．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析 y′＝(x4)′＝4x3.
设切点为(x0，y0)，则4x×＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1，1)．
∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知f(x)＝x2＋2xf′，则f′＝________．
解析 对f(x)求导，
得f′(x)＝2x＋2f′，
f′＝2×＋2f′，
所以f′＝.
答案
8．已知f(x)＝ln x，且f′(x0)＝，则x0＝________．
解析 f′(x)＝，所以f′(x0)＝，
又f′(x0)＝，所以＝，
x0＝1.
答案 1
9．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
解析 因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，
则切线方程为y－2＝α(x－1)．
又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．
解析 ∵抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0，
故解得
11．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解析 设两曲线的交点为(x0，y0)，
f′(x)＝，g′(x)＝，x＞0，
由已知得
解得a＝e，x0＝e2.
∴两条曲线的交点坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
12．(13分)设抛物线y＝x2与直线y＝x＋a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹．
解析 将y＝x＋a代入y＝x2整理得x2－x－a＝0，①
为使直线与抛物线有两个不同的交点，
必须Δ＝(－1)2＋4a>0，所以a>－.
设此两交点为(α，α2)，(β，β 2)，α<β，由y＝x2知y′＝2x，
则切线l1，l2的方程为y＝2αx－α2，y＝2βx－β 2.设两切线交点为(x，y)，
则.②
因为α，β是①的解，由根与系数的关系，
可知α＋β＝1，αβ＝－a.
代入②可得x＝，y＝－a<.
从而，所求的轨迹为直线x＝上的y<的部分．
课件23张PPT。§1.2 导数的计算 §1.2.1 几个常用函数的导数 §1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 0 1 2x 0 nxn－1 cos x －sin x axlnex 【问题2】 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
答案 (1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．【问题3】 由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象及导数可知；|k|越大函数增加(k>0)或减少(k<0)的速度越快．画出函数y＝x2的图象，结合图象及导数说明函数y＝x2的变化情况．知识点二 基本初等函数的导数公式
【问题】 你能说出基本初等函数的导数公式的特点吗？
答案 (1)常数函数的导数为零．
(2)有理数幂函数f(x)＝xα的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.
(3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．
(4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数．
(5)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例．题型二 导数公式在解决切线问题中的应用
【例2】 (6分)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．【典例】 已知直线y＝kx是曲线f(x)＝ex的切线，则k的值等于________．易错误区(二) 正确使用求导公式 【答案】 e本课结束
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