§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列求导数运算正确的是
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析 对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.
答案 B
2．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析 设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．
又∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
答案 B
3．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 ∵y′＝－2sin，∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.
答案 D
4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析 f′(x)＝x·＋ln x＝1＋ln x，
因为f′(x0)＝2，所以1＋ln x0＝2，
ln x0＝1，x0＝e.
答案 B
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
解析 ∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
∵已知切线方程为y＝2x＋b，
∴即故选D.
答案 D
6．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析 设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即
y＝3xx－2x.
又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得
a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．
解析 ∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，
∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
答案 y＝2x
8．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
答案 －3
9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析 ∵f(x)＝f′cos x＋sin x，
∴f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′sin ＋cos ，
∴f′＝－1，
从而有f＝(－1)cos ＋sin ＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝cos；
(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝.
解析 (1)令u＝1－3x，则y＝u－4，
∴y′＝－4u－5·(1－3x)′
＝－4·(1－3x)－5·(－3)＝12(1－3x)－5.
(2)令u＝3x－，则y＝cos u，
∴y′＝(－sin u)·3＝－3sin.
(3)令u＝4x＋7，则y＝log2u，
∴y′＝·(4x＋7)′＝.
(4)令u＝x2＋3x＋1，则y＝2u，
∴y′＝2u(ln 2)·(x2＋3x＋1)′
＝(2x＋3)ln 2·.
11．(12分)已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．
解析 ∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1.
f′(x)＝2ax－2＋＝，
f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
12．(13分)曲线y＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解析 y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x
∴y′|x＝0＝2，∴在点(0，1)处的切线方程为
y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设所求直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝，∴b＝6或－4.
∴所求直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
课件31张PPT。§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) [课标要求]
1．能够利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易错点)
2．理解并能应用复合函数的求导法则．(难点)f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 二、复合函数的导数x的函数y＝f(g(x)) yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积知识点一 导数的运算法则
【问题1】 默写导数的运算法则，并说明应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？【问题2】 如何求多个函数的和差(或积)组成的函数的导数？
答案 利用导数公式的拓展形式求导数，常见的拓展公式有
(1)和(差)导数公式的拓展
①可以推广到有限个函数的和(或差)的情形：
若y＝f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．
③[f(x)±c]′＝f′(x)．(2)积的导数公式的拓展
若y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，
则有
y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…f1(x)f2(x)…fn′(x)．知识点二 复合函数的导数
【问题1】 (1)如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
(2)函数y＝ln(x＋2)是怎样复合而成的？
答案 (1)复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
(2)y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．【问题2】 计算函数y＝cos(3x－1)的导数，试述复合函数求导的过程．●规律方法
利用运算法则求函数的导数的策略
(1)对简单函数
先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对较复杂函数
先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，使有利于求导公式的应用．●规律方法
求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(2x2＋3x＋4)；(2)y＝sin4 x＋cos4 x.题型三 导数的应用
【例3】 (12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．●规律方法
利用导数求切线方程的注意点
(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点．
(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程．易错误区(三) 不能正确应用导数的运算法则而致误 [易错防范]
1．①、②两处要切记求导要正确．
2．熟记导数运算法则
求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错．例如本例可利用商的导数运算法则求，但要注意应用准确．
3．求导时常用的技巧
利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．例如本例可把商化成和差求导，这样容易计算．本课结束
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