§1.3 导数在研究函数中的应用
§1.3.1 函数的单调性与导数
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是
解析 设f(x)＝a(x＋1)(x－1)＝ax2－a(a＜0)，
∴f′(x)＝2ax(a＜0)，因此选B.
答案 B
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析 对y＝sin x有y′＝cos x，
对y＝xex有y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
对y＝x3－x有y′＝3x2－1，
对y＝ln x－x有y′＝－1(x∈(0，＋∞))，
其中y′>0在(0，＋∞)上恒成立的只有y′＝ex(1＋x)，
故y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
答案 B
3．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是
A. B.及
C. D.及
解析 注意定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝＝，
令f′(x)＞0，不难得出x＞.则答案为C.
答案 C
4．y＝xln x在(0，e)上是
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是递减函数，在上是递增函数
D．在上是递增函数，在上是递减函数
解析 y′＝lnx＋x·＝ln x＋1，令y′＞0，解得x＞.∵e＞，∴y＝xln x在上为增函数，同理可求在上为减函数．
答案 C
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
解析 f′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在上是增函数，
故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立．
即a≥－2x在x∈[，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，
易知h(x)在[，＋∞)上为减函数，
∴h(x)max＝h()＝4－1＝3，
∴a≥3.
答案 D
6．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
解析 利用函数的导数与单调性求解．
函数在[－5，5]上为减函数，所以在[－5，5]上y′≤0，经检验只有A符合，故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式 f′(x)≤0的解集为________．
解析 由函数的单调性与导数的关系可知，f′(x)≤0的解集为函数的单调递减区间，结合图象可知其解集为[－，1]∪[2，3)．
答案 [－，1]∪[2，3)
8．函数f(x)＝ex－2x的单调增区间为________．
解析 f′(x)＝ex－2，
令f′(x)≥0可得x≥ln 2.
答案 [ln 2，＋∞)
9．(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x＞0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
答案 －1 (－∞，0]
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求下列函数的单调区间：
(1)y＝x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解析 (1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，
解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，
所以函数的单调递减区间为(0，2)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
y′＝＋2x＝＝.
令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.
所以函数的单调递增区间为，.
令y′＜0，解得－1＜x＜－，
所以函数的单调递减区间为.
11．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解析 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴，即.
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－
故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为
(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，
单调递减区间为(1－，1＋)．
12．(13分)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
①若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1，故此时f(x)在R上是增函数．
②由于a≠0，故当a<1时，f′(x)＝0有两个根
x1＝，x2＝.
若00，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(x2，x1)是减函数．
若a<0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(x1，x2)是增函数．
(2)当a>0，x>0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，
故当a>0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
当a<0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a<0.
综上，a的取值范围是[－，0)∪(0，＋∞)．
课件31张PPT。§1.3 导数在研究函数中的应用 §1.3.1 函数的单调性与导数 [课标要求]
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．(难点)
2．掌握利用导数研究函数的单调性的方法．(重点)
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(重点、易错点)函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：递增递减答案 (1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.【问题2】 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？【问题3】 在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间是增函数，反过来也成立吗？
答案 不一定成立．例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件．【问题4】 利用导数研究函数的单调性应注意哪些问题？
答案 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”字等隔开．知识点二 函数增减的快慢与导数值大小的关系
【问题】 通过对课本例3的学习，结合图象，你能从导数的角度解释函数增减快慢的情况吗？●规律方法
利用导数判断或证明函数单调性的思路
(1)利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：
①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
(2)特别提醒：如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．●规律方法
1．求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在单调区间上为增函数；
解不等式f′(x)<0，函数在单调区间上为减函数．2．含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．题型三 已知函数单调性求参数范围
【例3】 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(1，2)上单调递增，求实数a的取值范围．●规律方法
已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，即转化为m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max，注意验证等号是否成立．规范解答(二) 利用函数的单调性求参数的取值范围 [审题指导] 若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．本课结束
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