§1.3.2 函数的极值与导数
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 令f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；令f′(x)＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2.
∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减；当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故③④正确，①②错误．
答案 B
2．设函数f(x)＝＋ln x，则
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
解析 ∵f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，
所以x＝2为f(x)的极小值点．
答案 D
3．已知y＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，则
A．a＝－2 B．a＝2
C．a＝ D．a＝0
解析 y′＝acos x＋cos 3x，
由题意可得y′|x＝＝0，
即a－1＝0，∴a＝2.
答案 B
4．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
解析 当k＝1时，f′(x)＝xex－1，f′(1)＝e－1≠0，
故k＝1时，x＝1不是极值点；
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
可以判断f(x)在x＝1处取到极小值．
答案 C
5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围
A．[2，6] B．(2，6)
C．(－∞，2]∪[6，＋∞) D．(－∞，2)∪(6，＋∞)
解析 由题意f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6，故实数a的取值范围为(2，6)．
答案 B
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3
C．6 D．9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
解析 f′(x)＝，f′(1)＝＝0.
∴a＝3.
答案 3
8．函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝______．
解析 f′(x)＝6x2－6x.
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
容易判断极大值为f(0)＝a＝6.
答案 6
9．若函数f(x)＝x3－3x－k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝±1，
由f′(x)>0得x<－1或x>1，
由f′(x)<0得－1当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2－k，
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－2－k，
由题意得：2－k<0或－2－k>0，
即k>2或k<－2.
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求f(x)＝x2·ex的极值点和极值．
解析 ∵f(x)＝x2ex，∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
4e－2
↘
0
↗
由表可知：x＝－2是f(x)的极大值点，x＝0是f(x)的极小值点．
f(x)极大值＝f(－2)＝4e－2，f(x)极小值＝f(0)＝0.
11．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
解析 (1)f(x)＝ex－ln(x＋m)?f′(x)＝ex－?f′(0)＝e0－＝0?m＝1，
经检验，m=1满足题意,∴f(x)＝ex－ln(x＋1)，
定义域为{x|x>－1}，
f′(x)＝ex－＝，
显然f(x)在(－1，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 令g(x)＝ex－ln(x＋2)，
则g′(x)＝ex－(x>－2)．
h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)?h′(x)＝ex＋>0，
所以h(x)是单调递增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，
又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，
所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间内．
设g′(x)＝0的根为t，
则有g′(t)＝et－＝0，
所以，et＝?t＋2＝e－t，
当x∈(－2，t)时，g′(x)当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；
所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝＋t＝>0，
当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)
＝g(x)≥g(x)min>0.
12．(13分)设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
解析 (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－k＝－＝.
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当0当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．
当k>1时，
得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减，
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，
当且仅当解得e综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.
课件41张PPT。§1.3.2 函数的极值与导数 [课标要求]
1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点)
2．掌握函数极值的判定及求法．(重点、易错点)
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．(重点、难点)一、函数极值、极值点的概念
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧___________，右侧___________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极值点与极值
________、_______统称为极值点，______和_______统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0极小值点极大值点极小值极大值2．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是_________；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是_________．极大值极小值二、函数极值的求法
1．确定函数的定义区间，求导数________．
2．求方程____________的根．
3．用上述方程的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_______；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_______；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处________．f′(x)f′(x)＝0极大值极小值无极值知识点 函数的极值与导数的关系
【问题1】 如图(1)和图(2)，函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？图(1)图(2)答案 以a，b两点为例，我们可以发现，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.【问题2】 问题1中a，b，c，d，e，f，g，h哪些是极小值点，哪些是极大值点？
答案 极小值点有a，c，e，g；极大值点有b，d，f，h.
【问题3】 结合问题1、2思考：函数的极大值一定大于极小值吗？在同一区间内极值点唯一吗？
答案 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值，例如图(2)中f(c)为极小值，f(f)为极大值，但f(c)>f(f)；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．【问题4】 极值点的导数为0，导数为0的点一定是极值点吗？
答案 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．题型一 求函数的极值
【例1】 求函数y＝x3－3x2－9x＋5的极值．●规律方法
求可导函数f(x)极值的步骤
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；
(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
[注意事项]
(1)不要忽略函数的定义域；
(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2e－x；
(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．●规律方法
已知函数的极值(点)求参数的取值(范围)常见题目类型
类型一：在区间(a，b)内有极值，这类问题常转化为f′(x)在(a，b)内有变号零点处理，即f′(a)·f′(b)<0.
类型二：已知极值点所在区间(a，b)，求参数的数值范围，这类问题的常规解法是先求极值点，然后利用极值点在区间(a，b)内列出不等式(组)从而求出参数的范围．
类型三：已知极值(点)求参数通常解法是先求函数的导数f′(x)；再由极值点的导数为0，列出方程(组)，求解参数．题型三 函数极值的综合应用
【例3】 已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．规范解答(三) 含参数极值的求解问题 [审题指导] 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
解析 f(x)＝2x3－6x＋k，
则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，
得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1，1)上是单调减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．本课结束
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