§1.3.3 函数的最大(小)值与导数
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
解析 ∵y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，
令y′＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．
又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.
答案 A
2．函数y＝的最大值为
A．e－1 B．e
C．e2 D.
解析 y′＝＝，(x>0)
由y′＝0得x＝e，
由y′>0得0
e，
∴当x＝e时，ymax＝＝＝e－1.
答案 A
3．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于
A．－ B.
C．－ D.或－
解析 由y＝－x2－2x＋3＝
解得x＝－或x＝－.
又函数在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减，
∴函数在(－，－1)上为增函数，
在(－1，2)上为减函数，
故a∈(－1，2)，∴a＝－.
答案 C
4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，3]
解析 f′(x)＝3x2＋a，要使f(x)在[1，＋∞)上是增函数，需满足不等式3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2，x∈[1，＋∞)，∴a≥－3.
答案 B
5．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为
解析 令g(x)＝ln(1＋x)－x，则g′(x)＝－.
由g′(x)＞0得：－1＜x＜0，
由g′(x)＜0得：x＞0，故g(x)＜g(0)＝0，
从而x＞0或－1＜x＜0时均有f(x)＜0，
排除A，C，D.
答案 B
6．当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
解析 当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0，1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－>0，
∴φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.∴a≥－6.
当x∈[－2，0)时，a≤，
∴a≤.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，
当x∈(－1，0)时，φ′(x)>0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2＜＜－1，故m∈(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
8．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．
解析 f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0得0＜x＜，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.
答案 －3
9．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，
即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
答案 m≥
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，5]上的最大值和最小值．
解析 由f(x)＝x3－ax2＋3x，得
f′(x)＝3x2－2ax＋3，根据题意，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，
即27－6a＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a=5满足题意,
所以f(x)＝x3－5x2＋3x.
所以f′(x)＝3x2－10x＋3，令f′(x)＝0，
得x＝3或x＝(舍去)．
当1当30，函数f(x)在(3，5]上是增函数．
由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，这也就是函数f(x)在区间[1，5]上的最小值；
又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，故函数f(x)在[1，5]上的最大值为f(5)＝15.
综上，函数f(x)在[1，5]上的最大值为15，最小值为－9.
11．(12分)已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)＜a恒成立，求实数a的取值范围．
解析 ∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，
∴x＝1或x＝－.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，2)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∴当x＝－时，f(x)取得极大值f＝；
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.
又f(－1)＝，f(2)＝7.
∴f(x)在x∈[－1，2]上的最大值为f(2)＝7.
∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7.
∴所求实数a的取值范围是(7，＋∞)．
12．(13分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解析 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当xx2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增．
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以
当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；
当1综上所述，a≥4时，f(x)在x＝0处取最小值，在x＝1处取最大值；
1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取最小值，在x2处取最大值．
当a＝1时，f(x)在x＝0与x＝1处取最小值，在x＝x2处取最大值；
当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取最小值，在x＝x2处取最大值．
课件37张PPT。§1.3.3 函数的最大(小)值与导数 [课标要求]
1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．(难点)
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．(易混点)
3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．(重点)函数的最大(小)值与导数的关系
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有_______和_______．最大值最小值2．函数最值的求法
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：
(1)当函数f(x)单调时：若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的_______；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的__________，f(b)为函数的__________．
(2)当函数f(x)不单调时：
①求y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将y＝f(x)的各_______与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．最小值最大值最大值最小值极值某一点附近 整个区间 知识点 求函数的最值
【问题1】 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答案 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．【问题2】 对问题1中的函数y＝f(x)你能找出它在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？在区间(a，b)上呢？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．【问题3】 结合问题1、2，思考极值与最值有什么关系？
答案 区别：(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．
(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．
联系：极值有可能是最值，最值不在端点处取得的可导函数，其最值一定是极值，同时区间(a，b)内若只有一个极值，则极值一定为最值． 【问题4】 求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤是什么？
答案 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：
(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出使得方程f′(x)＝0的所有点；
(3)确定函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(4)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．1．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值．题型二 已知函数的最值求参数
【例2】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．●规律方法
已知函数最值求参数值的一般步骤
(1)求导数f′(x)，并求极值；
(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值；
(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
(4)注意事项：
若参数变化影响着函数的单调性变化，往往要对参数进行分类讨论．2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1，2]上有极大值3，最小值－29，求a，b的值．
解析 依题意，显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1，2]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．题型三 利用最值解决恒成立问题
【例3】 (12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．●规律方法
利用最值解决不等式恒成立问题的一般步骤
(1)分离参数：把不等式恒成立问题转化为f(x)≥a或f(x)≤a恒成立．
(2)转化为求最值问题：f(x)≥a转化为a≤f(x)min，f(x)≤a转化为a≥f(x)max.
(3)求最值即求f(x)的最大值或最小值．
(4)写出参数范围，a≤f(x)min或a≥f(x)max.
注意 不等式中是否含等号与所求参数是否取等号的关系，特殊情况下可进行代入验证． 3．例3中(2)改为“若对任意的x∈[0，3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范围”，如何解答？
解析 由例题可知
f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0，3]上的最小值大于或等于c2即可．
又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0，规范解答(四) 函数最值在不等式中的应用 [审题指导] 设函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝a2x2，是否存在正实数a，使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．本课结束
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