§1.4 生活中的优化问题举例
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是
解析 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.
答案 A
2．一种产品，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，设总利润y＝，则总利润最大时，每年生产的产品是
A．100 B．150
C．200 D．300
解析 当0≤x≤400时，当x＝300时，y有最大值；当x＞400时，y＝80 000－100x无最大值．故选D.
答案 D
3．把长为12厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析 设一个三角形的边长为x cm，
则另一个三角形的边长为(4－x)cm，
两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.
令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.
答案 D
4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)
A．32，16 B．30，15
C．40，20 D．36，18
解析 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．
答案 A
5．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为
A．30 B．40
C．50 D．以上都不对
解析 V(x)＝－x3＋30x2，
∴V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
∴当0＜x＜40时，V′(x)＞0.
当40＜x＜60时，V′(x)＜0，
∴V(x)在(0，40)单调递增，在(40，60)单调递减，
∴x＝40是V(x)的极大值点，也是最大值点．故选B.
答案 B
6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析 产品利润为y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2
＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2.
令y′＝0得：x＝0或x＝6(x＝0舍去)．
当0＜x＜6时，y′＞0，
当x＞6时，y′＜0，即x＝6时，y取最大值．
∴当生产6千台时，利润最大．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．
解析 设月租金定为x元，收入为y元，
则y＝(50－)(x－100)
＝(x＝50k，0≤k≤50，k∈N)
易知当x＝1 800时，y取最大值．
答案 1 800
8．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方部分，则这个矩形的面积最大时的边长分别为________．
解析 由题意，设矩形边长AD＝2x，
则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0＜x＜2)．
∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解之得x1＝，x2＝－(舍去)．
当0＜x＜时，S′＞0；
当＜x＜2时，S′＜0.
∴当x＝时，S取得最大值为，
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
答案 ，
9．一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时消耗煤的价值为40元，至于其他费用每小时要200元．要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省，则火车行驶的速度应为________ .
解析 设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km，
则总费用为y＝f(x)＝(kx3＋200)
＝a(x＞0)．
∵40＝k·203＝8 000k，∴k＝，
∴y＝f(x)＝a(x＞0)，
f′(x)＝a＝，
令f′(x)＝0，则x＝10 .
∵f(x)只有一个极值点，∴此点也为最值点，
∴当火车行驶速度为10 km/h时，费用最少．
答案 10 km/h
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解析 (1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，
即n＝－1.所以
y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)m
＝＋m＋2m－256，0＜x≤m.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，故f(x)在区间(64，640)上为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
11．(12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析 (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝17.5(升)，
即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝·
＝x2＋－(0＜x≤120)，
h′(x)＝－＝(0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0，80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
当x∈(80，120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0，120]上只有一个极值，∴它是最小值．
答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
12．(13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析 (1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，(3＜x＜6)．
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
课件36张PPT。§1.4 生活中的优化问题举例 [课标要求]
1．通过实例体会导数在解决实际问题中的作用． (难点)
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点、难点)
3．提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．利用导数解决生活中的优化问题
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为___________．导数是解决这类问题的基本方法之一．优化问题提示 ∵x＞0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，得x＝9.∴x∈(0，9)时，y′＞0；
x∈(9，＋∞)时，y′＜0.故y先增后减，
∴x＝9时函数取最大值．
答案 9万件【问题2】 根据问题1的解答过程，说一下解决优化问题的基本步骤．
答案 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
(3)解模：把数学问题转化为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．题型一 面积、体积的最值问题
【例1】 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解析】 设容器的高为x cm，容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0故V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝36(舍去)．
当00，即V(x)为增函数；
当10因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.●规律方法
求解面积、体积的最值问题的步骤
(1)分析几何体的几何特征，选择合适的变量，建立关于面积或体积的目标函数．
(2)根据图形确定定义域，如本题中长方体的长、宽、高都大于零．
(3)求出函数的导数，令导数等于零，得到导数为0的点．
(4)通过研究函数的单调性确定函数的最值点及最值．
(5)结合题意，写出答案．1．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？题型二 利润最大、效率最高问题
【例2】 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解析】 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]．●规律方法
1．如何求解利润最大问题？
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
2．注意事项
(1)价格要大于成本，否则就会亏本；
(2)销量要大于0，否则不会获利．题型三 用料最省、费用最低问题
【例3】 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8＜v≤20)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？●规律方法
用料最省、费用最低问题的解题策略
解题时根据题意明确哪一项指标最省，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．3．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m )规范解答(五) 利用导数解决生活中的优化问题 (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.[审题指导] 本课结束
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