§1.5 定积分的概念
§1.5.1 曲边梯形的面积
§1.5.2 汽车行驶的路程
§1.5.3 定积分的概念
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 根据“化整为零”、“积零为整”的思想知①是正确的，故选A.
答案 A
2．一物体的运动速度v＝2t＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为
A．4 B．3
C．2 D．1
解析
即求(2t＋1)dt.可由其几何意义求解．
s＝＝4.
答案 A
3．已知f(x)dx＝0，则
A.f(x)dx＝f(x)dx＝0 B.f(x)dx＋f(x)dx＝0
C．2f(x)dx＝0 D．2f(x)dx＝0
解析 由定积分的性质知
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.
答案 B
4．已知S1＝xdx，S2＝x2dx，则S1与S2的大小关系是
A．S1＝S2 B．S＝S
C．S1>S2 D．S1解析 由定积分的几何意义知S1＝S△OAB，S2为图中的阴影部分，故S1>S2.
答案 C
5.dx的值为
A.a2 B.a2
C．πa2 D．－a2
解析 由定积分的几何意义易知dx为圆x2＋y2＝a2的面积的，故选A.
答案 A
6．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin x围成的平面图形的面积可表示为
A．2(x3＋sin x)dx B．2(x3＋sin x)dx
C.(x3＋sin x)dx D.(x3＋sin x)dx
解析 因函数y＝x3＋sin x是奇函数，则由定积分的几何意义可知，S＝2(x3＋sin x)dx.故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若xdx＝1，则实数a的值为________．
解析 由定积分的几何意义知：
xdx＝×a×a＝1(a＞0)，则有a＝.
答案
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为
xdx－dx＝dx.
答案 dx
9．若＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．
解析 由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x)＝cos x，x∈的图象与坐标轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sin xdx＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)利用定积分的定义计算(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解析 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1，2]等分为n个小区间(i＝1，2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝1＋(i＝1，2，…，n)，则
Sn＝·Δx
＝·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋·＋3＋.
(3)取极限
(－x2＋2x)dx＝Sn
＝
＝，
(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
11．(12分)已知函数f(x)＝求f(x)dx的值．
解析 由定积分的几何意义知x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cos xdx＝0.
由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos xdx＝π2－4.
12．(13分)利用定积分的几何意义计算下列定积分．
(1)(3x＋2)dx；
(2)dx.
解析 (1)如图所示，阴影部分的面积为＝，
从而(3x＋2)dx＝.
(2)原式＝|2－x|dx＝(2－x)dx＋(x－2)dx，
如图所示．
由定积分的几何意义知
(2－x)dx＝×2×2＝2，
(x－2)dx＝×1×1＝.
∴dx＝.
课件48张PPT。§1.5 定积分的概念 §1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程 §1.5.3 定积分的概念 [课标要求]
1．理解连续函数的概念，了解定积分的实际背景及“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(难点)
2．会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．(难点)
3．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义． (重点)
4．掌握定积分的基本性质．(重点、易错点)一、曲边梯形的概念及其面积
1．曲边梯形的概念
在直角坐标系中，由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形．分割 近似代替 求面积的和 取极限 二、求变速运动的路程
当物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)时，在a≤t≤b时间段内也可以利用“______________________ ___________”的方法求其运动的路程．变速运动的路程分割、近似代替、求和、取极限积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 f(x)≥0 x＝a x＝b 知识点一 曲边梯形的面积
【问题1】 图中的阴影部分是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的图形，它称为曲边梯形，它与“直边图形”的主要区别是什么？答案 前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．【问题2】 图中的图形可以看成是直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形．如何求它的面积S？并试述主要求解步骤．答案 (如图)可以通过把区间[0，1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．知识点二 求变速运动的路程
【问题】 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么如何求汽车在0≤t≤1这段时间行驶的路程呢？
答案 与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．具体解法如下：知识点三 定积分的概念
【问题1】 你是如何理解定积分的概念的？【问题3】 若函数具有奇、偶性，它的定积分又有什么特殊性质呢？题型一 定积分的定义的应用
【例1】 (12分)利用定积分的定义求出直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．1．用定积分的定义求自由落体的物体的下落距离：
已知自由落体的物体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．●规律方法
定积分性质的应用技巧
(1)根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．易错误区(四) 因忽视定积分的几何意义而导致错误 【答案】 －π本课结束
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