§1.6 微积分基本定理
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.dx的值为
A．1＋ln 2 B．2＋ln 2
C．3＋ln 2 D．4＋ln 2
解析 ∵f(x)＝＝2x＋1＋，
取F(x)＝x2＋x＋ln x，
则F′(x)＝2x＋1＋，
∴dx＝(x2＋x＋ln x)＝4＋ln 2.
答案 D
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A．2 B．4
C．2 D．4
解析 首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出被积函数，再用积分求出面积．令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，
∴S＝(4x－x3)＝)0＝8－4＝4，故选D.
答案 D
3．已知f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则的值为
A. B.
C. D.
解析 ＝x2dx＋
＝x3＋ln x＝＋2＝.
答案 C
4.)dx等于
A．0 B．1
C．2 D．－2
解析 (1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋
＝＋－＝1.
答案 B
5．设f(x)＝sin tdt，则f等于
A．－1 B．1
C．－cos 1 D．1－cos 1
解析 f(x)＝sin tdt＝－cos t＝－cos x＋1，
∴f＝－cos＋1＝1.
∴f＝f(1)＝－cos 1＋1.
答案 D
6．若dx＝3＋ln 2，且a＞1，则a的值是
A．6 B．4
C．3 D．2
解析 因为dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1，
所以a2＋ln a－1＝3＋ln 2，所以a＝2.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知α∈，则当(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________．
解析 (cos x－sin x)dx
＝(sin x＋cos x)＝sin α＋cos α－1
＝sin－1，
上式取最大值时，sin＝1，
∵α∈，∴α＝.
答案
8．F(x)是一次函数，且F(x)dx＝5，F(x)xdx＝，则F(x)＝________．
解析 ∵F(x)是一次函数，
∴设F(x)＝kx＋b(k≠0)．
∴F(x)dx＝(kx＋b)dx
＝
＝＋b，
∴＋b＝5.①
∴F(x)xdx＝(kx＋b)xdx＝(kx2＋bx)dx
＝
＝＋.
∴＋＝.②
由①②，得k＝4，b＝3.
∴F(x)＝4x＋3.
答案 4x＋3
9．设函数y＝f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析 ∵f(x)dx＝(ax2＋c)dx
＝＝＋c
＝ax＋c，0≤x0≤1，
∴x0＝.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求下列定积分．
(1) dx；
(2) cosdx.
解析 (1)∵(ex)′＝ex，′
＝·′
＝－sin
∴dx
＝exdx＋∫0sindx
＝ex－cos
＝(e－e0)－
＝e－1－＝e－.
(2)因为cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x，
又因为(sinx)′＝cos x，(－cos x)′＝sin x，
所以cosdx＝dx
＝＝0.
11．(12分)求函数f(x)＝在区间[0，3]上的定积分．
解析 由积分性质知
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝x3dx＋xdx＋2xdx
＝0＋1＋2
＝＋－＋－
＝－＋＋.
12．(13分)求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积．
解析 由图形可得
S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx＝＋
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.
课件33张PPT。§1.6 微积分基本定理 [课标要求]
1．掌握微积分基本定理．(重点、难点)
2．会利用微积分基本定理求定积分．(重点)导函数 F′(x) F(b)－F(a) 牛顿—莱布尼兹公式 F(b)－F(a) 积分 导数 S上 －S下 S上－S下 0 知识点 微积分基本定理
【问题1】 利用微积分定理计算定积分的关键是什么？
答案 关键是找到使F′(x)＝f(x)成立的F(x)，通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则．【问题2】 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？●规律方法
1．用微积分基本定理求定积分的步骤
(1)求f(x)的一个原函数F(x)；
(2)计算F(b)－F(a)．
2．注意事项
(1)有时需先化简，再求积分；
(2)f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.答案 C●规律方法
求复杂函数定积分的方法
(1)掌握基本初等函数的导数及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求解时，可以先把原函数变形．
(2)合理应用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分再求．
(3)准确确定积分区间，分清积分的上下限．尤其被积函数是分段函数，分段的标准是使每一段上的函数有意义，且表达式确定．题型三 求两曲线所围成的平面图形的面积
【例3】 如图是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.●规律方法
1．求平面图形面积的步骤
(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标．
(2)将平面图形的面积转化为曲边梯形的面积．
(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．
2．注意事项
根据图形特点选择适当的积分变量：若公共积分区间在x轴上，选取x为积分变量；若公共积分区间在y轴上，选取y为积分变量，要把函数变形成用y表示x的函数．3．求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．规范解答(六) 求解分段函数的积分问题 [审题指导] 答案 C本课结束
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