§1.7 定积分的简单应用
§1.7.1 定积分在几何中的应用
§1.7.2 定积分在物理中的应用
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析 W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝e.故选B.
答案 B
2．如图，阴影部分的面积是
A．2 B．－2
C. D.
解析 S＝(3－x2－2x)dx
＝＝.
答案 C
3．汽车以32 m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8 m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为
A．128 m B．64 m
C．32 m D．80 m
解析 由匀减速运动可得vt＝v0＋at，
其中v0＝32 m/s，a＝－8 m/s2，
故vt＝32－8t，令vt＝0，得t＝4，
即刹车时间为4 s，可得刹车距离为
s＝(32－8t)dt＝(32t－4t2)＝64(m)．
答案 B
4．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为
A．120 m B．437.5 m
C．360 m D．480 m
解析 由1.4t＝35得t＝25，
∴|AB|＝1.4tdt＝0.7t2＝0.7×252＝437.5.
答案 B
5．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形的面积为
A．2 B.
C. D.
解析 曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形面积如下图中阴影部分，
S＝(x2＋2x)dx－(x2＋2x)dx
＝－
＝＋1－＋1＝2.
答案 A
6．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x2－x所围成的平面图形的面积为
A. B.
C. D.
解析 画出直线x＝－2，x＝2，y＝0和曲线y＝x2－x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
∴S＝(x2－x)dx＋＋(x2－x)dx
＝＋＋
＝0－＋＋－
＝＋＋＝.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．由曲线y＝x2和y2＝x所围成的图形的面积为______．
解析 两曲线的交点的横坐标为x＝0，x＝1，
因此所求图形的面积为：
S＝dx－x2dx
＝
＝－＝.
答案
8．如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm，那么为了将弹簧拉长6 cm需做功________J.
解析 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比，即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1 N时，x＝0.01 m，可得k＝100.
由变力做功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费的功
W＝100xdx＝50x2＝0.18(J)．
答案 0.18
9．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________ m．(精确到0.01)
解析 t＝0时，v0＝32 km/h＝ m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.
停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝ s，
所以汽车所走的路程
s＝v(t)dt＝≈21.95(m)．
答案 21.95 m
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．
解析 由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，
则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2，2)，
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－
＝2－＝.
11．(12分)直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解析 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积
S＝0＝－＝.
抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标
x1′＝0，x2′＝1－k，
所以＝0
＝(1－k)3.
又S＝，所以(1－k)3＝.
∴k＝1－ ＝1－.
12．(13分)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解析 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．
课件33张PPT。§1.7 定积分的简单应用§1.7.1 定积分在几何中的应用§1.7.2 定积分在物理中的应用[课标要求]
1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．(重点)
2．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．(难点)一、定积分在几何中的应用
通过定积分的运算可以发现定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于_________________．曲边梯形的面积(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于_________________________．
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于__________ ________________________________________________．曲边梯形的面积的相反数位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积Fs 知识点一 定积分在几何中的应用
【问题】 如何应用定积分来求平面图形的面积？
答案 ①由两条曲线围成的平面图形，只要求出两曲线的交点，确定积分上下限，用定积分表示面积(被积函数为上－下)，然后计算定积分即可．
②由多条曲线围成的复杂图形，要先求出曲线不同的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和．若积分变量选x运算较繁琐，则积分变量可选y，同时要更新积分上、下限．知识点二 定积分在物理中的应用
【问题】 利用定积分求变速直线运动的路程与求变力所做功的区别？
答案 利用定积分求变速直线运动的路程，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；
利用定积分求变力所做的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数．●规律方法
求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．1．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积．题型二 求变速直线运动物体的路程
【例2】 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1(m/s)在直线l上运动，另一质点B以速度v2(t)＝10t(m/s)也在直线l上运动，若两质点同时同地出发并同向运动，求经过多少时间，质点A比质点B多运动5 m?●规律方法
用定积分求变速直线运动的路程
(1)把物理问题转化为数学问题是关键：积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数，积分区间是运动的起止时间点．
(2)路程是位移的绝对值之和，在求路程时，要注意先判断速度在时间段内是否恒正，否则，要分段求解．
特别提醒：忽视速度的正负判断，是导致此类问题出错的主要原因．2．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)在t＝4 s时的位置；
(2)在t＝4 s时运动的路程．题型三 变力做功
【例3】 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．答案 B规范解答(七) 定积分的综合应用 [审题指导] 在抛物线y＝－x2＋1(x≥0)上找一点P(x1，y1)，其中x1≠0，过点P作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小．本课结束
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