2-2-2
[综合提升案·核心素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
解析 由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．
答案 C
2．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析 “方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
答案 A
3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析 自然数a，b，c中为偶数的情况为：a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
答案 B
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案 C
5．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
解析 假设a，b，c均小于，则a＋2·b＋c＜＋1＋＝2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
答案 D
6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 必要性显然，充分性：若PQR＞0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，R＞0，因为P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a，
所以a＋b＋b＋c＜c＋a，即b＜0，这与b＞0矛盾，
所以P，Q，R同时大于零．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bc＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________．
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．
答案 a，b，c，d全是负数
8．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x
3
5
8
9
15
lg x
2a－b
a＋c
3－3a－3c
4a－2b
3a－b＋c＋1
请将错误的一个改正为lg________＝________．
解析 ∵lg 9＝2lg 3，4a－2b＝2(2a－b)，因为表中的对数值有且仅有一个是错误的，而3和9的对数值正确，lg 5＝1－lg 2，lg 8＝3lg 2，∴3lg 5＋lg 8＝3，故5和8的对数值也不能都错，故只有15的对数值错误，应改正为lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c.
答案 15；3a－b＋c
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出．
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案 ③
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd＞1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
11．(12分)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
解析 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1).①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1，
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋＜0，与②相矛盾，
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋＞2，与②相矛盾，
故数列{cn}不是等比数列．
12．(13分)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?
以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
解析 (1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．
证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成立．
证明：(反证法)
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，
而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
以上两式相加，得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设错误，因此a＋b≥0.
课件30张PPT。§2.2.2 反证法
[课标解读]
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.(重点)
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. (重点、难点)
1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与________矛盾，或与_____矛盾，或与_____________________矛盾等．
基础知识整合不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实?知识点 反证法
【探究1】 反证法的适用范围是什么？
提示 宜用反证法证明的常见题型有：
(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类的命题；(7)涉及“无限”结论的命题等．
核心要点探究【探究2】 反证法证明的基本步骤是什么？
提示 (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
【探究3】 反证法证题与“逆否命题法”是否相同？
提示 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．
【拓展提高】
1．对反证法的两点说明
(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
2．反证法常用结论的反设词题型一 用反证法证明否定性命题例1规律总结
(1)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适于应用反证法．
(2)解答本题时可先将否定性命题转化为肯定性命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的．
◎变式训练 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【自主解答】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，
题型二 用反证法证明唯一性命题例2假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m,
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾,
若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾,
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
规律总结
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
2．(1)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
(2)求证：两条相交直线有且只有一个交点．
◎变式训练解析 (1)对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾；对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一．
(2)证明 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾,
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾,
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
答案 (1)B (2)略
已知a≥－1，求证三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，
x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．题型三 用反证法证明存在性命题例3方法技巧
(1)反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法．
(2)“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式
◎变式训练◎典题示例规范解答3 反证法在推理证明中的应用典例[审题流程][名师点睛]
(1)反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系，如本例中三角恒等变换的应用在证明中起了关键作用．
(2)在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.◎典题试解本讲结束
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