3-1-1
[综合提升案·核心素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．有下列四个命题：
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解．
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数Q中有两解．
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解．
④x4＝1在R中有两解，在C中也有两解．
其中正确命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由数系扩充的意义和虚数单位i，易判断④是错误的，因为(±i)4＝1.
答案 C
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D.＋i
答案 A
3．已知x，y∈R，且(x＋y)＋2i＝4x＋(x－y)i，则
A. B.
C. D.
解析 由复数相等的条件得解得
答案 C
4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
解析 由题意知解得：x＝－1.
答案 A
5．若a，b∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
解析 ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，
∴由两复数相等的充要条件得，a＝1，b＝－1.
答案 D
6．复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z>0，则实数a的值是
A. B．1
C．－1 D．－
解析 因为z>0，所以z∈R，
故a2－3＝0，
解得a＝±，
当a＝－时，z<0，
故a＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________．
解析 设y＝bi(b≠0，b∈R)，则2x－1＋2i＝bi.
∴解得∴x＝，y＝2i.
答案 2i
8．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝______．
解析 (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.
答案 ±1
9．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则k＝________．
解析 因为z＜0，所以z∈R，故虚部k2－5k＋6＝0，(k－2)(k－3)＝0，
所以k＝2或k＝3，但k＝3时，z＝0，故k＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(11分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时．
(1)z为实数.(2)z是纯虚数．
解析 (1)∵z为实数，∴m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，
∴m＝－1或m＝－2.
(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝3.
11．(12分)已知P＝{－1，1，4i}，M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}．若M∪P＝P，求实数m的值．
解析 因为M∪P＝P，所以M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，
解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
12．(12分)设关于x的方程是x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0.
(1)若方程有实根，求锐角θ和实数根.
(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
解析 (1)设实根是α，则α2－(tan θ＋i)α－(2＋i)＝0，
即α2－tan θ·α－2－(α＋1)i＝0，
∵α·tan θ∈R，∴∴α＝－1且tan θ＝1，
又0＜θ＜，∴θ＝，α＝－1.
(2)证明 若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)2－(tan θ＋i)bi－(2＋i)＝0，
即
此方程组无实数解，
所以对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
课件32张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念
§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[课标解读]
1.了解数系的扩充过程．(难点)
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)
3．了解复数的代数表示法．(重点)
1．复数的概念及代数表示法
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做________，全体复数所成的集合C叫做________，规定i·i＝i2＝－1.
基础知识整合复数虚数单位 复数集(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．这一表示形式叫做复数的________．对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明，都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的____与____．
代数形式实部虚部2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是_____________．
3．复数的分类
(1)对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是____；当且仅当________时，它是实数0；当b≠0时，叫做________．当a＝0且b≠0时，叫做________．a＝c且b＝d实数a＝b＝0虚数纯虚数?知识点一 数系的扩充与分类
【探究1】 虚数单位i具有怎样的性质？
提示 虚数单位具有以下性质：
(1)i2＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
核心要点探究【探究2】 复数的实部与虚部一定是实数吗？
提示 若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则其实部为a，虚部为b，因此复数的实部和虚部指的是两个实数，不能认为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是bi，同时要特别注意只有当a，b∈R时，a＋bi中的a与b才分别是实部与虚部．
?知识点二 复数相等
【探究1】 z1，z2是复数，z1－z2＞0，那么z1＞z2，这个命题是真命题吗？
提示 假命题．例如，z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3＞0，但z1＞z2无意义，因为虚数不能比较大小．
【探究3】 两个复数一定不能比较大小对吗？
提示 不一定，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系．
拓展提高
复数概念的三点说明
(1)虚数单位i可以与实数进行加、减、乘、除的运算．
(2)复数的定义如同指数函数的定义一样，采用形式定义，即符合a＋bi(a，b∈R)的形式的数就是复数．
(3)复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)中，a，b一定是实数，否则，就不是复数的代数形式.
下列四个命题:
①两个复数不能比较大小.
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应.
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
④若a∈R，则(a＋2)i是纯虚数．
其中，假命题的序号是________
题型一 复数的基本概念例1【自主解答】 ①当这两个复数都是实数时，可以比较大小．
②若a＝0，则ai不是纯虚数．
③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
④当a∈R且a＝－2时，(a＋2)i＝0不是纯虚数,
因此所给的4个命题全部是假命题．
【答案】 ①②③④
规律总结
正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”；“先否定，后肯定”的方法进行解答．
1．判断下列说法是否正确：(1)当z∈C时，z2≥0.
(2)若b＝0，则复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数.
(3)若a>b，则a＋i>b＋i.
解析 (1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立,
若z＝i，则z2＝－1<0.
(2)正确．当b＝0时，复数z＝a为实数．
(3)错误．两个虚数不能比较大小．◎变式训练题型二 复数的分类例2【答案】 (1)D (2)略方法技巧
1．本例(2)中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．
2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．
◎变式训练 (1)设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，则实数x＝________，y＝________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．
题型三 复数的相等例3方法技巧
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
3．(1)已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，则x＝________，y＝________．
(2)已知M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，同时满足M∩N M，M∩N≠?，求整数a，b.
◎变式训练 在下列命题中，正确命题的个数是
(1)两个复数不能比较大小；
(2)若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
(3)若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
◎典题示例易错误区4 复数概念不清致误典例【规范解答】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故(1)是错误的；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故(2)是错误的；
(3)当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故(3)错误，因此选A.
【答案】 A[易错防范]
1．明确关系：解决与复数相关的问题时，要明确复数与实数间的从属关系．如本例(1)是区分复数是哪一类数．
2．分清概念：虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)，虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
下列说法正确的是
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数
C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
解析 由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.
答案 A◎典题试解本讲结束
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