3-1-2
[综合提升案·核心素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．在复平面内i＋i2表示的点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 i＋i2＝－1＋i，故表示的点在第二象限．
答案 B
2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
解析 由m2－3m－4＝0，
得m＝－1或m＝4.
答案 C
3．设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则下式中正确的是
A．|z2|＝|z|2≠z2 B．|z2|＝|z|2＝z2
C．|z2|≠|z|2＝z2 D．互不相等
解析 |z2|＝|(a＋bi)2|＝|(a2－b2)＋2abi|
＝
＝＝a2＋b2＝|z|2.
答案 A
4．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a满足
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
解析 由题意知a2－2a＝0，
∴a＝2或a＝0.
答案 C
5．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定不是实数
解析 因为2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，所以排除A，B，D，故选C.
答案 C
6．下列命题中的假命题是
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
解析 ①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立．所以A为真；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B为真；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a，b1，a2，b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2.b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C为真；
④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，所以D为假命题，故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
解析 由已知得，解得1＜x＜2.
答案 (1，2)
8．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．
解析 z1在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)，故z2＝－2＋3i.
答案 －2＋3i
9．复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则|z|＝________．
解析 ∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴解得a＝1，∴z＝2i，∴|z|＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(11分)求实数m的取值范围，使复数z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i在复平面内对应点满足：
(1)在实轴上.
(2)在第二象限内．
解析 (1)若复数z对应点在实轴上，
则?m＝－2.
(2)若复数z对应点在第二象限，
则?－1＜m＜0.
答案 (1)m＝－2 (2)－1＜m＜0
11．(11分)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
解析 根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝，
即点Z的坐标为(－1，)，∴z＝－1＋i.
12．(13分)已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小.
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
解析 (1)|z1|＝|－i|
＝＝2，
|z2|＝＝ ＝1，
∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，
因为|z|≥1表示圆|z|＝1及其外部所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2及其内部所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如下图．
答案 (1)|z1|＝2 |z2|＝1 |z1|＞|z2| (2)点Z的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环
课件35张PPT。§3.1.2 复数的几何意义
[课标解读]
1.理解复平面、实轴、虚轴等概念．(难点)
2．理解并掌握复数与复平面上点的一一对应，并能简单应用．(重点)
3．理解复数模的计算公式，并会求复数的模．(重点)
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做________，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
基础知识整合复平面实轴虚轴Z(a，b)?知识点一 复数的几何意义
【探究1】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，以z的实部和虚部组成一个有序实数对(a，b)，那么复数z与有序实数对(a，b)之间是一个怎样的对应关系？
提示 一一对应关系．
核心要点探究【探究2】 复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？
提示 在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0，0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．
【探究3】 用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？
提示 以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段．
【探究4】 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．提示 根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2，0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0，5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．?知识点二 复数的模
【探究1】 复数的模可以等于该复数吗？
提示 可以，当复数为正实数时就可以．
【探究2】 任意两个复数的模能比较大小吗？
提示 复数的模为实数，故能比较大小．
【探究3】 实数的绝对值与复数的模有区别吗？
提示 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时．z＝a，此时，复数的模|z|等于实数a的绝对值即|a|.当b≠0时，|z|≠|a|.即复数的模与实数的绝对值是不同的．如z∈R时，|z|＝1，即z＝±1；如z∈C时，|z|＝1,则有无数个值，均在单位圆上，所以不能简单地把实数绝对值运算推广到复数模的运算．
在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上,(2)在第二象限,(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
【自主解答】 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
题型一 复数与复平面内点的关系例1方法技巧
按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．1．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方.
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
◎变式训练题型二 复数模的应用例2【答案】 (1)D (2)D方法规律
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
[提醒] 复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离，则任何一个复数的模都是非负数．
◎变式训练解法二 设z＝x＋yi(x，y∈R)．
①|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
②|z|≤3，∴x2＋y2≤9.
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
答案 (1)D (2)略
题型三 复数与复平面内向量的关系例3【领悟整合】 数形结合思想的应用
(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离,如|z－i|＝1表示点Z到点(0，1)之间的距离为1.
◎变式训练 (12分)由已知两个向量a，b对应的复数分别是z1＝3和z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．
◎典题示例规范解答4 以向量为工具解决复数问题典例[审题流程][名师点睛] 复数与复平面上的点，与向量的对应
这种对应关系使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
复数i，1，4＋2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD的长．◎典题试解本讲结束
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