3-2-1
[综合提升案·核心素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由z＝z2－z1＝1＋2i－(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i＝－1＋i，因此，复数z＝z2－z1对应的点为(－1，1)，在第二象限．
答案 B
2．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
解析 z＝2i＋(1－i)＝1＋i.
答案 A
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，
z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4.
答案 A
4．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于
A．－3i B．3i C．±3i D．4i
解析 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9，①
又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数，∴
由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故选B.
答案 B
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 因为z＝3－4i，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.故选C.
答案 C
6．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是
A．圆 B．直线
C．椭圆 D．双曲线
解析 解法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z＋1|＝|x＋yi＋1|＝，
|z－i|＝|x＋yi－i|＝，
所以＝，所以x＋y＝0，
所以z的对应点Z的集合构成的图形是第二、四象限角平分线．
解法二 设点Z1对应的复数为－1，点Z2对应的复数为i，则等式|z＋1|＝|z－i|的几何意义是动点Z到两点Z1，Z2的距离相等．
所以Z的集合是线段Z1Z2的垂直平分线．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝________．
解析 ∵z1＋z2＝－m＋(m2－2m)i＞0，
∴∴m＝2.
答案 2
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________．
解析 z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋(a＋1－b－2)i＝4，
∴解得，∴a＋b＝3.
答案 3
9．已知复数z的模为3，则|z－2i|的最小值为________．
解析 令z＝x＋yi，(x，y∈R)，则z－2 i＝x＋(y－2)i，
∴|z－2 i |＝.
又|z|＝3，∴x2＋y2＝9，
∴|z－2 i |＝.
∵－3≤y≤3，∴|z－2 i |min＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
解析 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得
a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，因此S△ABC＝×2×1＝1
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
因此S△ABC＝1.
11．(12分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解析 (1)＝－＝(2＋i)－1＝1＋i，
＝－＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i，
＝－＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i，
所以，，对应的复数分别为
1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||2＝10，||2＝8，||2＝2，
所以有||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形．
12．(13分)在复平面内，复数z1对应的点在连结1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2对应的点在复平面上移动的范围的面积．
解析 设ω＝z1＋z2，则z2＝ω－z1，∴|z2|＝|ω－z1|.
∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.
上式说明对于给定的z1，复数ω对应点在以z1为圆心，1为半径的圆上运动．
又z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，
∴ω的移动范围的面积为S＝2×2＋π×12＝4＋π.
答案 4＋π
课件29张PPT。§3.2 复数代数形式的四则运算
§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
[课标解读]
1.掌握复数代数形式的加、减法运算法则．(重点)
2．理解复数代数形式的加、减法运算的几何意义．(难点)1．复数的加法与减法
(1)复数的加、减法法则
(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；
(a＋bi)－(c＋di)＝______________．
即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别_________．
基础知识整合(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i相加(减)(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝_____，(z1＋z2)＋z3＝__________．
z2＋z1z1＋(z2＋z3)平行四边形向量的加法终点被减向量的终点?知识点一 复数的加法及其几何意义
【探究1】 两个复数的和是个什么数?它的值唯一确定吗？
提示 仍然是个复数，且是一个确定的复数．
【探究2】 复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？
提示 可以，这是复数加法的几何意义．
核心要点探究【探究2】 设z1，z2均为复数，则当z1－z2＞0时，是否一定有z1＞z2?
提示 不一定．z1－z2＞0只能说明z1－z2的结果是一个实数．而z1，z2本身可能是虚数，不能比较大小．例如：z1＝3＋i，z2＝1＋i，虽有z1－z2＝2＞0，但不能推出3＋i＞1＋i.
提示 (1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.(如图①)
(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图②) 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i).
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)].
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
【自主解答】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
题型一 复数代数形式的加减运算例1方法技巧
复数代数形式的加减运算技巧
(1)类比实数的加减运算，若有括号，先计算括号内的；若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.◎变式训练 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【自主解答】 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
题型二 复数加减运算的几何意义例2规律总结
(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
(2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
2．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：◎变式训练 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
题型三 复数加减运算的综合应用例3[规律总结] (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化思想”的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB:
①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
◎变式训练解析 (1)由复数加减法运算的几何意义可知△AOB为直角三角形．故选B.
(2)设复数－i，i，－1－i在复平面
内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.故选A.
答案 (1)B (2)A
设x∈[0，2π)，复数z1＝cos x＋isin x对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是________．
◎典题示例易错误区5 复数运算中思维不严密而致错典例[易错防范]
(1)题目条件的充分利用
解题时，要仔细审题，建立条件与所求之间的联系，实现题目条件向结论的正确转化，如本例根据已知条件，将|z1＋z2|化为三角函数式，再化简求值．
(2)注意条件的挖掘
已知复数z＝a＋bi，根据复数的几何意义，已知点的坐标所在位置，可得a，b的取值范围，如本例中根据z1对应的点的位置可列不等式组，得到x的取值范围．若复数z1＝2cos α＋isin α，z2＝cos α－(sin α－1)i，α∈(0，π)，且z1－z2＜0，则α的值为________．
◎典题试解本讲结束
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