3-2-2
[综合提升案·核心素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
解析 i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
答案 D
2．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析 解法一 因为|3－4i|＝5，|3－4i|2＝25，
所以z＝＝3＋4i.
解法二 因为(3－4i)z＝25，所以z＝＝3＋4i.
答案 D
3．已知a是实数，i是虚数单位，复数是纯虚数，则a等于
A．1 B．－1 C. D．－
解析 ＝＝是纯虚数．则所以a＝1.
答案 A
4．在复平面内，复数对应的点的坐标为
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，3) D．(3，－1)
解析 ∵＝＝i(3－i)＝1＋3i，
又∵复数1＋3i对应复平面内的点(1，3)，故选A.
答案 A
5．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z等于
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析 由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
答案 A
6．设复数z满足＝i，则|z|＝
A．1 B. C. D．2
解析 因为＝i，所以z＝＝＝i，故|z|＝1.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
解析 复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.
答案 2
8．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以z2＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi，
因为z2＝3＋4i，
根据复数相等的定义知解得
所以|z|＝＝.
答案
9．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于______．
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
因为z＋＝4，所以a＝2，
又因为z·＝8，所以b2＋4＝8，所以b2＝4.
所以b＝±2，即z＝2±2i，故＝±i.
答案 ±i
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)计算：
(1)＋；(2).
解析 这是两道含幂运算的问题，运算比较复杂，应尽量使用代数式运算技巧．
(1)＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋i＋＝＋i－－i＝0
(2)解法一
原式＝＝
＝＝－－i＝－－i.
解法二 (技巧解法)
原式＝
＝(－ω2)4
＝ω8＝ω2(∵ω6＝1)
＝ω(∵ω2＝ω)＝－－i.
答案 (1)0 (2)－－i
11．(12分)已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部．
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．
解析 (1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
解得：解得m＝5，n＝－12.
12．(13分)设z∈C且|z|＝1，但z≠±1，判断是不是纯虚数，并说明理由．
解析 解法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由|z|＝1得a2＋b2＝1，∴＝＝
＝＝i.
由|z|＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1，∴为纯虚数．
解法二 ∵|z|＝1，∴z z＝1.
∴＝＝＝－＝－，
∵z≠±1，∴≠0.∴是纯虚数．
答案 是纯虚数，理由略
课件35张PPT。§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[课标解读]
1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(重点)
3．理解共轭复数的概念．(难点)1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝___________________．
基础知识整合ac－bd＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3实部相等，虚部互为相反数a－bi?知识点一 复数的乘法
【探究1】 在复数范围内，完全平方公式、平方差公式、乘方运算依然成立吗？
核心要点探究【探究2】 在复数范围内，|z|2＝z2吗？
提示 不一定．如|i|2＝12＝1，而i2＝－1.
【探究4】 in(n∈N)有什么规律？
提示 具有周期性：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，…，n∈N
?知识点二 共轭复数与复数的除法
【探究1】 复平面内，两个共轭复数的对应点有什么关系？
提示 关于实轴对称，特别当复数是实数时，两点重合，即实轴上同一点．
【探究2】 两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？
【探究3】 复数除法的实质是怎样的？
提示 复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可.
题型一 复数的乘法与除法运算例1【答案】 (1)C (2)见自主解答方法技巧
复数乘除运算的技巧
(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样．
(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法．
(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(zm)n＝zmn进行转化运算．
(4)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号里面的．
◎变式训练答案 (1)A (2)1题型二 共轭复数及应用例2【答案】 (1)D (2)z＝－1或z＝－1－3i◎变式训练答案 (1)A (2)a＝－2，b＝1.题型三 复数运算的综合问题例3领悟整合
复数运算的综合问题解题策略
在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x＋yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．
[提醒] 复数问题实数化或根据几何意义利用数形结合法是解决复数问题的关键．
◎变式训练答案 (2，6) ◎典题示例规范解答5 复数的综合应用典例[审题流程][名师点睛]
在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决，如本例的条件为z2＝8＋6i，这就要根据这个条件求出z，然后再求解．
◎典题试解本讲结束
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